MATLAB - Calcolo

MATLAB fornisce vari modi per risolvere problemi di calcolo differenziale e integrale, risolvere equazioni differenziali di qualsiasi grado e calcolare limiti. Soprattutto, puoi facilmente tracciare i grafici di funzioni complesse e controllare i massimi, i minimi e altri punti di cancelleria su un grafico risolvendo la funzione originale, così come la sua derivata.

Questo capitolo tratterà i problemi del calcolo. In questo capitolo discuteremo i concetti del pre-calcolo, ovvero il calcolo dei limiti delle funzioni e la verifica delle proprietà dei limiti.

Nel prossimo capitolo Differenziale , calcoleremo la derivata di un'espressione e troveremo i massimi e minimi locali su un grafico. Discuteremo anche la risoluzione di equazioni differenziali.

Infine, nel capitolo sull'integrazione , discuteremo del calcolo integrale.

Calcolo dei limiti

MATLAB fornisce il limitfunzione per il calcolo dei limiti. Nella sua forma più semplice, illimit la funzione accetta l'espressione come argomento e trova il limite dell'espressione quando la variabile indipendente va a zero.

Ad esempio, calcoliamo il limite di una funzione f (x) = (x 3 + 5) / (x 4 + 7), poiché x tende a zero.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB eseguirà l'istruzione sopra e restituirà il seguente risultato:

ans =
   5/7

La funzione limite rientra nel regno del calcolo simbolico; devi usare il filesymsfunzione per dire a MATLAB quali variabili simboliche stai usando. È inoltre possibile calcolare il limite di una funzione, poiché la variabile tende a un numero diverso da zero. Per calcolare lim x-> a (f (x)), usiamo il comando limit con argomenti. Il primo è l'espressione e il secondo è il numero, che x si avvicina, qui è a .

Ad esempio, calcoliamo il limite di una funzione f (x) = (x-3) / (x-1), poiché x tende a 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB eseguirà l'istruzione sopra e restituirà il seguente risultato:

ans =
   NaN

Facciamo un altro esempio,

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB eseguirà l'istruzione sopra e restituirà il seguente risultato:

ans =
   14

Calcolo dei limiti utilizzando Octave

Di seguito è riportata la versione Octave dell'esempio precedente utilizzando symbolic pacchetto, prova ad eseguire e confrontare il risultato -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave eseguirà l'istruzione precedente e restituirà il seguente risultato:

ans =
   0.7142857142857142857

Verifica delle proprietà di base dei limiti

Il Teorema algebrico del limite fornisce alcune proprietà di base dei limiti. Questi sono i seguenti:

Consideriamo due funzioni:

  • f (x) = (3x + 5) / (x - 3)
  • g (x) = x 2 + 1.

Calcoliamo i limiti delle funzioni come x tende a 5, di entrambe le funzioni e verifichiamo le proprietà di base dei limiti utilizzando queste due funzioni e MATLAB.

Esempio

Crea un file di script e digita il seguente codice al suo interno:

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Quando esegui il file, viene visualizzato:

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Verifica delle proprietà di base dei limiti utilizzando Octave

Di seguito è riportata la versione Octave dell'esempio precedente utilizzando symbolic pacchetto, prova ad eseguire e confrontare il risultato -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave eseguirà l'istruzione precedente e restituirà il seguente risultato:

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Limiti dei lati sinistro e destro

Quando una funzione ha una discontinuità per un valore particolare della variabile, il limite non esiste a quel punto. In altre parole, i limiti di una funzione f (x) hanno discontinuità in x = a, quando il valore del limite, quando x si avvicina a x dal lato sinistro, non è uguale al valore del limite quando x si avvicina dal lato destro.

Questo porta al concetto di limiti per mancini e destrimani. Un limite mancino è definito come il limite come x -> a, da sinistra, cioè x si avvicina a, per valori di x <a. Un limite destrorso è definito come il limite come x -> a, da destra, cioè x si avvicina a, per valori di x> a. Quando il limite per la mano sinistra e il limite per la mano destra non sono uguali, il limite non esiste.

Consideriamo una funzione:

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Mostreremo che lim x-> 3 f (x) non esiste. MATLAB ci aiuta a stabilire questo fatto in due modi:

  • Tracciando il grafico della funzione e mostrando la discontinuità.
  • Calcolando i limiti e dimostrando che entrambi sono diversi.

I limiti per mancini e destrorsi vengono calcolati passando le stringhe di caratteri "left" e "right" al comando limit come ultimo argomento.

Esempio

Crea un file di script e digita il seguente codice al suo interno:

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Quando esegui il file, MATLAB traccia il seguente grafico

Dopo che viene visualizzato questo output seguente:

l =
   -1
  
r =
   1