Matematica discreta - Funzioni

UN Functionassegna a ogni elemento di un insieme, esattamente un elemento di un insieme correlato. Le funzioni trovano la loro applicazione in vari campi come la rappresentazione della complessità computazionale degli algoritmi, il conteggio di oggetti, lo studio di sequenze e stringhe, solo per citarne alcuni. Il terzo e ultimo capitolo di questa parte evidenzia gli aspetti importanti delle funzioni.

Funzione - Definizione

Una funzione o mappatura (definita come $ f: X \ rightarrow Y $) è una relazione tra gli elementi di un insieme X e gli elementi di un altro insieme Y (X e Y sono insiemi non vuoti). X si chiama Dominio e Y si chiama Codominio della funzione 'f'.

La funzione 'f' è una relazione su X e Y tale che per ogni $ x \ in X $, esiste un $ y \ unico in Y $ tale che $ (x, y) \ in R $. 'x' è chiamata pre-immagine e 'y' è chiamata immagine della funzione f.

Una funzione può essere uno a uno o molti a uno ma non uno a molti.

Funzione iniettiva / uno-a-uno

Una funzione $ f: A \ rightarrow B $ è una funzione iniettiva o uno-a-uno se per ogni $ b \ in B $, esiste al massimo un $ a \ in A $ tale che $ f (s) = t $ .

Ciò significa una funzione f è iniettivo se $ a_1 \ ne a_2 $ implica $ f (a1) \ ne f (a2) $.

Esempio

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ è iniettiva.

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ è iniettiva.

  • $ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ non è iniettabile come $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $

Funzione Surjective / Onto

Una funzione $ f: A \ rightarrow B $ è suriettiva (su) se l'immagine di f è uguale al suo intervallo. In modo equivalente, per ogni $ b \ in B $, esiste un po 'di $ a \ in A $ tale che $ f (a) = b $. Ciò significa che per ogni y in B, esiste una x in A tale che $ y = f (x) $.

Esempio

  • $ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ è surjective.

  • $ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ non è suriettivo poiché non possiamo trovare un numero reale il cui quadrato sia negativo.

Corrispondente biettivo / uno-a-uno

Una funzione $ f: A \ rightarrow B $ è biiettiva o corrispondente uno a uno se e solo se f è sia iniettiva che suriettiva.

Problema

Dimostrare che una funzione $ f: R \ rightarrow R $ definita da $ f (x) = 2x - 3 $ è una funzione biiettiva.

Explanation - Dobbiamo dimostrare che questa funzione è sia iniettiva che suriettiva.

Se $ f (x_1) = f (x_2) $, allora $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ e implica che $ x_1 = x_2 $.

Quindi, f è injective.

Qui, $ 2x - 3 = y $

Quindi, $ x = (y + 5) / 3 $ che appartiene a R e $ f (x) = y $.

Quindi, f è surjective.

Da f è Entrambi surjective e injective, possiamo dire f è bijective.

Inversa di una funzione

Il inverse di una funzione corrispondente uno-a-uno $ f: A \ rightarrow B $, è la funzione $ g: B \ rightarrow A $, con la seguente proprietà -

$ f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x $

Viene chiamata la funzione f invertible, se esiste la sua funzione inversa g.

Esempio

  • Una funzione $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $, è invertibile poiché ha la funzione inversa $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $.

  • Una funzione $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ non è invertibile poiché non è uno-a-uno come $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.

Composizione delle funzioni

Due funzioni $ f: A \ rightarrow B $ e $ g: B \ rightarrow C $ possono essere composte per dare una composizione $ gof $. Questa è una funzione da A a C definita da $ (gof) (x) = g (f (x)) $

Esempio

Siano $ f (x) = x + 2 $ e $ g (x) = 2x + 1 $, troviamo $ (nebbia) (x) $ e $ (gof) (x) $.

Soluzione

$ (nebbia) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $

$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $

Quindi, $ (nebbia) (x) \ neq (gof) (x) $

Alcuni fatti sulla composizione

  • Se feg sono uno a uno, anche la funzione $ (gof) $ è uno a uno.

  • Se feg sono su, allora anche la funzione $ (gof) $ è su.

  • La composizione detiene sempre la proprietà associativa ma non la proprietà commutativa.