Operatori e postulati

La teoria dei gruppi è una branca della matematica e dell'algebra astratta che definisce una struttura algebrica denominata come group. Generalmente, un gruppo comprende un insieme di elementi e un'operazione su due elementi qualsiasi su quell'insieme per formare un terzo elemento anche in quell'insieme.

Nel 1854, Arthur Cayley, il matematico britannico, diede per la prima volta la definizione moderna di gruppo:

"Un insieme di simboli tutti diversi, e tale che il prodotto di due qualsiasi di essi (non importa in quale ordine), o il prodotto di uno qualsiasi di essi in sé, appartiene all'insieme, si dice che sia un gruppo . Questi simboli non sono generalmente convertibili [commutativi], ma sono associativi ".

In questo capitolo, ne sapremo operators and postulates che costituiscono le basi della teoria degli insiemi, della teoria dei gruppi e dell'algebra booleana.

Qualsiasi insieme di elementi in un sistema matematico può essere definito con un insieme di operatori e un numero di postulati.

UN binary operatordefinita su un insieme di elementi è una regola che assegna a ciascuna coppia di elementi un elemento univoco di quella serie. Ad esempio, dato l'insieme $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, possiamo dire che $ \ otimes $ è un operatore binario per l'operazione $ c = a \ otimes b $, se specifica una regola per trovare c per la coppia di $ (a, b) $, tale che $ a, b, c \ in A $.

Il postulatesdi un sistema matematico costituiscono i presupposti di base da cui è possibile dedurre le regole. I postulati sono:

Chiusura

Un insieme è chiuso rispetto a un operatore binario se per ogni coppia di elementi dell'insieme, l'operatore trova un elemento unico da quell'insieme.

Esempio

Sia $ A = \ lbraccia 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Questo insieme è chiuso con operatore binario in $ (\ ast) $, perché per l'operazione $ c = a \ ast b $, per ogni $ a, b \ in A $, il prodotto $ c \ in A $.

L'insieme non è chiuso con l'operatore binario divide $ (\ div) $, perché, per l'operazione $ c = a \ div b $, per ogni $ a, b \ in A $, il prodotto c potrebbe non essere nell'insieme A. Se $ a = 7, b = 2 $, allora $ c = 3,5 $. Qui $ a, b \ in A $ ma $ c \ non in A $.

Leggi associative

Un operatore binario $ \ otimes $ su un insieme A è associativo quando contiene la seguente proprietà:

$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, dove $ x, y, z \ in A $

Esempio

Sia $ A = \ lbraccia 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

L'operatore più $ (+) $ è associativo perché per tre elementi qualsiasi $ x, y, z \ in A $, vale la proprietà $ (x + y) + z = x + (y + z) $.

L'operatore meno $ (-) $ non è associativo da allora

$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$

Leggi commutative

Un operatore binario $ \ otimes $ su un insieme A è commutativo quando contiene la seguente proprietà:

$ x \ otimes y = y \ otimes x $, dove $ x, y \ in A $

Esempio

Sia $ A = \ lbraccia 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

L'operatore più $ (+) $ è commutativo perché per due elementi qualsiasi, $ x, y \ in A $, vale la proprietà $ x + y = y + x $.

L'operatore meno $ (-) $ non è associativo da allora

$$ x - y \ ne y - x $$

Leggi distributive

Due operatori binari $ \ otimes $ e $ \ circledast $ su un insieme A, sono distributivi sull'operatore $ \ circledast $ quando vale la seguente proprietà -

$ x \ otimes (y \ cerchiato z) = (x \ otimes y) \ cerchiato (x \ otimes z) $, dove $ x, y, z \ in A $

Esempio

Sia $ A = \ lbraccia 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Gli operatori in $ (*) $ e più $ (+) $ sono distributivi sull'operatore + perché per tre elementi qualsiasi, $ x, y, z \ in A $, la proprietà $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ vale.

Tuttavia, da allora questi operatori non sono più distribuiti su $ * $

$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$

Elemento identità

Un insieme A ha un elemento di identità rispetto a un'operazione binaria $ \ otimes $ su A, se esiste un elemento $ e \ in A $, tale che valga la seguente proprietà:

$ e \ otimes x = x \ otimes e $, dove $ x \ in A $

Esempio

Sia $ Z = \ lbraccia 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

L'elemento 1 è un elemento identità rispetto all'operazione $ * $ poiché per ogni elemento $ x \ in Z $,

$$ 1 * x = x * 1 $$

D'altra parte, non vi è alcun elemento di identità per l'operazione meno $ (-) $

Inverso

Se un insieme A ha un elemento di identità $ e $ rispetto a un operatore binario $ \ otimes $, si dice che abbia un inverso ogni volta che per ogni elemento $ x \ in A $ esiste un altro elemento $ y \ in A $ , in modo tale che la seguente proprietà detenga:

$$ x \ otimes y = e $$

Esempio

Sia $ A = \ lbrace \ dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Data l'operazione più $ (+) $ e $ e = 0 $, l'inverso di ogni elemento x è $ (- x) $ poiché $ x + (x) = 0 $

Legge di De Morgan

Le leggi di De Morgan danno una coppia di trasformazioni tra unione e intersezione di due (o più) insiemi in termini di complementi. Le leggi sono -

$$ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$$

$$ (A \ cap B) '= A' \ cup B '$$

Esempio

Siano $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace, B = \ lbrace 1, 3, 5, 7 \ rbrace $ e

Set universale $ U = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots, 9, 10 \ rbrace $

$ A '= \ lbraccia 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ B '= \ lbraccia 2, 4, 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A \ cup B = \ lbraccia 1, 2, 3, 4, 5, 7 \ rbraccia $

$ A \ cap B = \ lbrace 1, 3 \ rbrace $

$ (A \ cup B) '= \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A '\ cap B' = \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

Quindi, vediamo che $ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$

$ (A \ cap B) '= \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A '\ cup B' = \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

Quindi, vediamo che $ (A \ cap B) '= A' \ cup B '$