Matematica discreta - Regole di inferenza

Per dedurre nuove affermazioni dalle affermazioni la cui verità che già conosciamo, Rules of Inference sono usati.

A cosa servono le regole di inferenza?

La logica matematica viene spesso utilizzata per le prove logiche. Le dimostrazioni sono argomenti validi che determinano i valori di verità delle affermazioni matematiche.

Un argomento è una sequenza di dichiarazioni. L'ultima affermazione è la conclusione e tutte le sue affermazioni precedenti sono chiamate premesse (o ipotesi). Il simbolo "$ \ quindi $", (leggi quindi) è posto prima della conclusione. Un argomento valido è quello in cui la conclusione segue dai valori di verità delle premesse.

Le regole di inferenza forniscono i modelli o le linee guida per la costruzione di argomenti validi dalle dichiarazioni che già abbiamo.

Tabella delle regole di inferenza

Regola di inferenza	Nome	Regola di inferenza	Nome
$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \ quindi P \ lo Q \ end {matrix} $$	Aggiunta	$$ \ begin {matrix} P \ lor Q \\ \ lnot P \\ \ hline \ quindi Q \ end {matrix} $$	Sillogismo disgiuntivo
$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \ quindi P \ land Q \ end {matrix} $$	Congiunzione	$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ quindi P \ rightarrow R \ end {matrice} $$	Sillogismo ipotetico
$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ quindi P \ end {matrix} $$	Semplificazione	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ quindi Q \ lo S \ end {matrice} $$	Dilemma costruttivo
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ quindi Q \ end {matrix} $$	Modus Ponens	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ quindi \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrice} $$	Dilemma distruttivo
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ quindi \ lnot P \ end {matrix} $$	Modus Tollens

Aggiunta

Se P è una premessa, possiamo usare la regola di addizione per derivare $ P \ lo Q $.

$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \ quindi P \ lo Q \ end {matrix} $$

Esempio

Sia P la proposizione: "Studia molto duramente" è vera

Pertanto - "O studia molto duramente o è uno studente molto cattivo". Qui Q è la proposizione "è uno studente molto cattivo".

Congiunzione

Se P e Q sono due premesse, possiamo usare la regola di congiunzione per derivare $ P \ land Q $.

$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \ quindi P \ land Q \ end {matrix} $$

Esempio

Let P - "Studia molto duramente"

Let Q - "È il miglior ragazzo della classe"

Pertanto - "Studia molto duramente ed è il miglior ragazzo della classe"

Semplificazione

Se $ P \ land Q $ è una premessa, possiamo usare la regola di semplificazione per derivare P.

$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ quindi P \ end {matrix} $$

Esempio

"Studia molto duramente ed è il miglior ragazzo della classe", $ P \ land Q $

Pertanto - "Studia molto duramente"

Modus Ponens

Se P e $ P \ rightarrow Q $ sono due premesse, possiamo usare Modus Ponens per derivare Q.

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ quindi Q \ end {matrix} $$

Esempio

"Se hai una password, puoi accedere a Facebook", $ P \ rightarrow Q $

"Hai una password", P

Pertanto - "Puoi accedere a Facebook"

Modus Tollens

Se $ P \ rightarrow Q $ e $ \ lnot Q $ sono due premesse, possiamo usare Modus Tollens per derivare $ \ lnot P $.

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ quindi \ lnot P \ end {matrix} $$

Esempio

"Se hai una password, puoi accedere a Facebook", $ P \ rightarrow Q $

"Non puoi accedere a Facebook", $ \ lnon Q $

Pertanto - "Non hai una password"

Sillogismo disgiuntivo

Se $ \ lnon P $ e $ P \ lo Q $ sono due premesse, possiamo usare il sillogismo disgiuntivo per derivare Q.

$$ \ begin {matrix} \ lnot P \\ P \ lo Q \\ \ hline \ quindi Q \ end {matrix} $$

Esempio

"Il gelato non è aromatizzato alla vaniglia", $ \ lnon P $

"Il gelato è aromatizzato alla vaniglia o al cioccolato", $ P \ lo Q $

Pertanto - "Il gelato è al gusto di cioccolato"

Sillogismo ipotetico

Se $ P \ rightarrow Q $ e $ Q \ rightarrow R $ sono due premesse, possiamo usare il Sillogismo ipotetico per derivare $ P \ rightarrow R $

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ quindi P \ rightarrow R \ end {matrice} $$

Esempio

"Se piove, non andrò a scuola", $ P \ rightarrow Q $

"Se non vado a scuola, non avrò bisogno di fare i compiti", $ Q \ rightarrow R $

Pertanto - "Se piove, non avrò bisogno di fare i compiti"

Dilemma costruttivo

Se $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ e $ P \ lo R $ sono due premesse, possiamo usare un dilemma costruttivo per derivare $ Q \ lor S $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ quindi Q \ lo S \ end {matrice} $$

Esempio

"Se piove, mi congedo", $ (P \ rightarrow Q) $

"Se fuori fa caldo, vado a farmi una doccia", $ (R \ rightarrow S) $

"O pioverà o farà caldo fuori", $ P \ lo R $

Pertanto - "Prenderò un congedo o vado a fare una doccia"

Dilemma distruttivo

Se $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ e $ \ lnot Q \ lo \ lnot S $ sono due premesse, possiamo usare il dilemma distruttivo per derivare $ \ lnot P \ lor \ lnot R $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ quindi \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrice} $$

Esempio

"Se piove, mi congedo", $ (P \ rightarrow Q) $

"Se fuori fa caldo, vado a farmi una doccia", $ (R \ rightarrow S) $

"O non prenderò un congedo o non andrò a farmi una doccia", $ \ lnot Q \ lo \ lnot S $

Pertanto - "O non piove o non fa caldo fuori"