Sistemi radar - Ricevitore con filtro abbinato
Se un filtro produce un'uscita in modo tale da massimizzare il rapporto tra la potenza di picco in uscita e la potenza media del rumore nella sua risposta in frequenza, allora quel filtro viene chiamato Matched filter.
Questo è un criterio importante, che viene considerato durante la progettazione di qualsiasi ricevitore radar. In questo capitolo, discutiamo la funzione di risposta in frequenza del filtro abbinato e la risposta all'impulso del filtro abbinato.
Funzione di risposta in frequenza del filtro abbinato
La risposta in frequenza del filtro Matched sarà proporzionale al complesso coniugato dello spettro del segnale in ingresso. Matematicamente, possiamo scrivere l'espressione perfrequency response function, $ H \ sinistra (f \ destra) $ del filtro con corrispondenza come -
$$ H \ sinistra (f \ destra) = G_aS ^ \ ast \ sinistra (f \ destra) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \: \: \: \: \: Equation \: 1 $$
Dove,
$ G_a $ è il guadagno massimo del filtro abbinato
$ S \ left (f \ right) $ è la trasformata di Fourier del segnale di ingresso, $ s \ left (t \ right) $
$ S ^ \ ast \ left (f \ right) $ è il complesso coniugato di $ S \ left (f \ right) $
$ t_1 $ è l'istante di tempo in cui il segnale osservato è massimo
In generale, il valore di $ G_a $ è considerato uno. Otterremo la seguente equazione sostituendo $ G_a = 1 $ nell'equazione 1.
$$ H \ sinistra (f \ destra) = S ^ \ ast \ sinistra (f \ destra) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \: \: \: \: \: Equation \: 2 $$
La funzione di risposta in frequenza, $ H \ left (f \ right) $ del filtro Matched ha l'estensione magnitude di $ S ^ \ ast \ sinistra (f \ destra) $ e phase angle di $ e ^ {- j2 \ pi ft_1} $, che varia uniformemente con la frequenza.
Risposta all'impulso del filtro abbinato
In time domain, otterremo l'output, $ h (t) $ del ricevitore del filtro abbinato applicando la trasformata di Fourier inversa della funzione di risposta in frequenza, $ H (f) $.
$$ h \ sinistra (t \ destra) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H \ sinistra (f \ destra) e ^ {- j2 \ pi ft_1} df \: \: \: \: \ : Equazione \: 3 $$
Substitute, Equazione 1 nell'Equazione 3.
$$ h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ lbrace G_aS ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \ rbrace e ^ { j2 \ pi ft} df $$
$$ \ Freccia destra h \ sinistra (t \ destra) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS ^ \ ast \ sinistra (f \ destra) e ^ {- j2 \ pi f \ sinistra (t_1-t \ right)} df \: \: \: \: \: Equation \: 4 $$
Conosciamo la seguente relazione.
$$ S ^ \ ast \ sinistra (f \ destra) = S \ sinistra (-f \ destra) \: \: \: \: \: Equation \: 5 $$
Substitute, Equazione 5 nell'Equazione 4.
$$ h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS (-f) e ^ {- j2 \ pi f \ left (t_1-t \ right)} df $$
$$ \ Freccia destra h \ sinistra (t \ destra) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS ^ \ sinistra (f \ destra) e ^ {j2 \ pi f \ sinistra (t_1-t \ destra) } df $$
$$ \ Freccia destra h \ sinistra (t \ destra) = G_as (t_1 − t) \: \: \: \: \: Equation \: 6 $$
In generale, il valore di $ G_a $ è considerato uno. Otterremo la seguente equazione sostituendo $ G_a = 1 $ nell'equazione 6.
$$ h (t) = s \ sinistra (t_1-t \ destra) $$
L'equazione precedente dimostra che il impulse response of Matched filterè l'immagine speculare del segnale ricevuto su un istante di tempo $ t_1 $. Le figure seguenti illustrano questo concetto.
Vengono visualizzati il segnale ricevuto, $ s \ sinistra (t \ destra) $ e la risposta all'impulso, $ h \ sinistra (t \ destra) $ del filtro corrispondente corrispondente al segnale, $ s \ sinistra (t \ destra) $ nelle figure sopra.