Logica fuzzy - Funzione di appartenenza

Sappiamo già che la logica fuzzy non è logica sfocata ma logica che viene utilizzata per descrivere la sfocatura. Questa sfocatura è meglio caratterizzata dalla sua funzione di appartenenza. In altre parole, possiamo dire che la funzione di appartenenza rappresenta il grado di verità nella logica fuzzy.

Di seguito sono riportati alcuni punti importanti relativi alla funzione di appartenenza:

  • Le funzioni di appartenenza sono state introdotte per la prima volta nel 1965 da Lofti A. Zadeh nel suo primo documento di ricerca "set sfocati".

  • Le funzioni di appartenenza caratterizzano la sfocatura (cioè tutte le informazioni in un insieme fuzzy), indipendentemente dal fatto che gli elementi negli insiemi fuzzy siano discreti o continui.

  • Le funzioni di appartenenza possono essere definite come una tecnica per risolvere problemi pratici tramite l'esperienza piuttosto che la conoscenza.

  • Le funzioni di appartenenza sono rappresentate da forme grafiche.

  • Anche le regole per definire la sfocatura sono sfocate.

Notazione matematica

Abbiamo già studiato che un insieme fuzzy à nell'universo dell'informazione U può essere definito come un insieme di coppie ordinate e può essere rappresentato matematicamente come -

$$ \ widetilde {A} = \ sinistra \ {\ sinistra (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ sinistra (y \ destra) \ destra) | y \ in U \ right \} $$

Qui $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = funzione di appartenenza di $ \ widetilde {A} $; questo assume valori nell'intervallo da 0 a 1, cioè $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. La funzione di appartenenza $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ mappa $ U $ nello spazio di appartenenza $ M $.

Il punto $ \ left (\ bullet \ right) $ nella funzione di appartenenza descritta sopra, rappresenta l'elemento in un insieme fuzzy; sia che sia discreto o continuo.

Caratteristiche delle funzioni di appartenenza

Discuteremo ora le diverse caratteristiche delle funzioni di appartenenza.

Nucleo

Per ogni insieme fuzzy $ \ widetilde {A} $, il nucleo di una funzione di appartenenza è quella regione dell'universo che è caratterizzata dall'appartenenza completa all'insieme. Quindi, il nucleo è costituito da tutti quegli elementi $ y $ dell'universo dell'informazione tali che,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Supporto

Per qualsiasi insieme fuzzy $ \ widetilde {A} $, il supporto di una funzione di appartenenza è la regione dell'universo che è caratterizzata da un'appartenenza diversa da zero nell'insieme. Quindi il nucleo è costituito da tutti quegli elementi $ y $ dell'universo dell'informazione tali che,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Confine

Per ogni insieme fuzzy $ \ widetilde {A} $, il confine di una funzione di appartenenza è la regione dell'universo caratterizzata da un'appartenenza diversa da zero ma incompleta all'insieme. Quindi, il nucleo è costituito da tutti quegli elementi $ y $ dell'universo dell'informazione tali che,

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzificazione

Può essere definito come il processo di trasformazione di un set nitido in un set fuzzy o un set fuzzy in un set più sfocato. Fondamentalmente, questa operazione traduce valori di input precisi e nitidi in variabili linguistiche.

Di seguito sono riportati i due importanti metodi di fuzzificazione:

Supporta il metodo di fuzzificazione (s-fuzzificazione)

In questo metodo, l'insieme fuzzificato può essere espresso con l'aiuto della seguente relazione:

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ sinistra (x_1 \ destra) + \ mu _2Q \ sinistra (x_2 \ destra) + ... + \ mu _nQ \ sinistra (x_n \ destra) $$

Qui l'insieme fuzzy $ Q \ left (x_i \ right) $ è chiamato come kernel di fuzzificazione. Questo metodo viene implementato mantenendo $ \ mu _i $ costante e $ x_i $ trasformato in un insieme fuzzy $ Q \ left (x_i \ right) $.

Metodo di fuzzificazione del grado (g-fuzzificazione)

È abbastanza simile al metodo precedente, ma la differenza principale è che ha mantenuto $ x_i $ costante e $ \ mu _i $ è espresso come un insieme fuzzy.

Defuzzificazione

Può essere definito come il processo di riduzione di un insieme sfocato in un insieme croccante o per convertire un elemento sfocato in un elemento croccante.

Abbiamo già studiato che il processo di fuzzificazione implica la conversione da quantità croccanti a quantità fuzzy. In una serie di applicazioni ingegneristiche, è necessario defuzzificare il risultato o meglio il “risultato fuzzy” in modo che debba essere convertito in un risultato nitido. Matematicamente, il processo di defuzzificazione è anche chiamato "arrotondamento".

I diversi metodi di defuzzificazione sono descritti di seguito:

Metodo Max-Membership

Questo metodo è limitato alle funzioni di output di picco e noto anche come metodo di altezza. Matematicamente può essere rappresentato come segue:

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: for \: all \: x \ in X $$

Qui $ x ^ * $ è l'output defuzzificato.

Metodo del centroide

Questo metodo è noto anche come metodo del centro di area o del centro di gravità. Matematicamente, l'output defuzzificato $ x ^ * $ sarà rappresentato come -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) ) .dx} $$

Metodo della media ponderata

In questo metodo, ogni funzione di appartenenza viene ponderata in base al valore massimo di appartenenza. Matematicamente, l'output defuzzificato $ x ^ * $ sarà rappresentato come -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Iscrizione Mean-Max

Questo metodo è anche noto come la metà dei massimi. Matematicamente, l'output defuzzificato $ x ^ * $ sarà rappresentato come -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$