Logica fuzzy - Aggiornamento fuzzy tradizionale
La logica, che originariamente era solo lo studio di ciò che distingue un argomento valido da un argomento non corretto, si è ora sviluppato in un sistema potente e rigoroso in base al quale è possibile scoprire affermazioni vere, date altre affermazioni che sono già note per essere vere.
Logica del predicato
Questa logica si occupa dei predicati, che sono proposizioni contenenti variabili.
Un predicato è un'espressione di una o più variabili definite su un dominio specifico. Un predicato con variabili può essere fatto una proposizione assegnando un valore alla variabile o quantificando la variabile.
Di seguito sono riportati alcuni esempi di predicati:
- Sia E (x, y) "x = y"
- Sia X (a, b, c) "a + b + c = 0"
- Sia M (x, y) "x è sposato con y"
Proposizione logica
Una proposizione è una raccolta di asserzioni dichiarative che hanno un valore di verità "vero" o un valore di verità "falso". Una proposizione è costituita da variabili proposizionali e connettivi. Le variabili proposizionali sono ammaccate da lettere maiuscole (A, B, ecc.). I connettivi collegano le variabili proposizionali.
Di seguito vengono forniti alcuni esempi di proposizioni:
- "L'uomo è mortale", restituisce il valore di verità "VERO"
- "12 + 9 = 3 - 2", restituisce il valore di verità "FALSE"
Quanto segue non è una proposta:
"A is less than 2" - È perché, a meno che non diamo un valore specifico di A, non possiamo dire se l'affermazione è vera o falsa.
Connettivi
Nella logica proposizionale, usiamo i seguenti cinque connettivi:
- O (∨∨)
- AND (∧∧)
- Negazione / NON (¬¬)
- Implicazione / se-allora (→→)
- Se e solo se (⇔⇔)
O (∨∨)
L'operazione OR di due proposizioni A e B (scritte come A∨BA∨B) è vera se almeno una qualsiasi delle variabili proposizionali A o B è vera.
La tabella della verità è la seguente:
| UN | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| Vero | Vero | Vero |
| Vero | Falso | Vero |
| Falso | Vero | Vero |
| Falso | Falso | Falso |
AND (∧∧)
L'operazione AND di due proposizioni A e B (scritte come A∧BA∧B) è vera se entrambe le variabili proposizionali A e B sono vere.
La tabella della verità è la seguente:
| UN | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| Vero | Vero | Vero |
| Vero | Falso | Falso |
| Falso | Vero | Falso |
| Falso | Falso | Falso |
Negazione (¬¬)
La negazione di una proposizione A (scritta come ¬A¬A) è falsa quando A è vera ed è vera quando A è falsa.
La tabella della verità è la seguente:
| UN | ¬A |
|---|---|
| Vero | Falso |
| Falso | Vero |
Implicazione / se-allora (→→)
Un'implicazione A → BA → B è la proposizione "se A, allora B". È falso se A è vero e B è falso. Gli altri casi sono veri.
La tabella della verità è la seguente:
| UN | B | A → B |
|---|---|---|
| Vero | Vero | Vero |
| Vero | Falso | Falso |
| Falso | Vero | Vero |
| Falso | Falso | Vero |
Se e solo se (⇔⇔)
A⇔BA⇔B è un connettivo logico bi-condizionale che è vero quando peq sono uguali, cioè entrambi sono falsi o entrambi sono veri.
La tabella della verità è la seguente:
| UN | B | A⇔B |
|---|---|---|
| Vero | Vero | Vero |
| Vero | Falso | Falso |
| Falso | Vero | Falso |
| Falso | Falso | Vero |
Formula ben formata
Well Formed Formula (wff) è un predicato che contiene uno dei seguenti:
- Tutte le costanti proposizionali e le variabili proposizionali sono wffs.
- Se x è una variabile e Y è un wff, anche ∀xY e ∃xY sono wff.
- Il valore di verità e i valori falsi sono wffs.
- Ogni formula atomica è un wff.
- Tutti i connettivi che collegano wffs sono wffs.
Quantificatori
La variabile dei predicati viene quantificata da quantificatori. Esistono due tipi di quantificatori nella logica dei predicati:
- Quantificatore universale
- Quantificatore esistenziale
Quantificatore universale
Quantificatore universale afferma che le dichiarazioni all'interno del suo ambito sono vere per ogni valore della variabile specifica. È indicato dal simbolo ∀.
∀xP(x) viene letto come per ogni valore di x, P (x) è vero.
Example- "L'uomo è mortale" può essere trasformato nella forma proposizionale ∀xP (x). Qui, P (x) è il predicato che denota che x è mortale e l'universo del discorso è tutto uomini.
Quantificatore esistenziale
Il quantificatore esistenziale afferma che le affermazioni all'interno del suo ambito sono vere per alcuni valori della variabile specifica. È indicato dal simbolo ∃.
∃xP(x) per alcuni valori di x viene letto come, P (x) è vero.
Example - "Alcune persone sono disoneste" può essere trasformato nella forma proposizionale ∃x P (x) dove P (x) è il predicato che denota x è disonesto e l'universo del discorso è alcune persone.
Quantificatori annidati
Se utilizziamo un quantificatore che appare nell'ambito di un altro quantificatore, viene chiamato quantificatore annidato.
Example
- ∀ a∃bP (x, y) dove P (a, b) denota a + b = 0
- ∀ a∀b∀cP (a, b, c) dove P (a, b) denota a + (b + c) = (a + b) + c
Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)