Logica fuzzy - Guida rapida

La parola fuzzysi riferisce a cose che non sono chiare o sono vaghe. Qualsiasi evento, processo o funzione che cambia continuamente non può sempre essere definito come vero o falso, il che significa che dobbiamo definire tali attività in modo Fuzzy.

Cos'è la logica fuzzy?

Fuzzy Logic assomiglia alla metodologia del processo decisionale umano. Si tratta di informazioni vaghe e imprecise. Questa è una grossolana semplificazione eccessiva dei problemi del mondo reale e si basa su gradi di verità piuttosto che sul solito vero / falso o 1/0 come la logica booleana.

Dai un'occhiata al diagramma seguente. Mostra che nei sistemi fuzzy, i valori sono indicati da un numero compreso tra 0 e 1. Qui 1.0 rappresentaabsolute truth e 0,0 rappresenta absolute falseness. Il numero che indica il valore nei sistemi fuzzy è chiamatotruth value.

In altre parole, possiamo dire che la logica fuzzy non è logica sfocata, ma logica utilizzata per descrivere la sfocatura. Ci possono essere numerosi altri esempi come questo con l'aiuto dei quali possiamo comprendere il concetto di logica fuzzy.

Fuzzy Logic è stato introdotto nel 1965 da Lofti A. Zadeh nel suo documento di ricerca “Fuzzy Sets”. È considerato il padre di Fuzzy Logic.

UN setè una raccolta non ordinata di elementi diversi. Può essere scritto in modo esplicito elencando i suoi elementi usando la parentesi fissa. Se l'ordine degli elementi viene modificato o viene ripetuto qualsiasi elemento di un set, non vengono apportate modifiche al set.

Esempio

  • Un insieme di tutti i numeri interi positivi.
  • Un insieme di tutti i pianeti del sistema solare.
  • Un insieme di tutti gli stati dell'India.
  • Un insieme di tutte le lettere minuscole dell'alfabeto.

Rappresentazione matematica di un insieme

Gli insiemi possono essere rappresentati in due modi:

Elenco o forma tabulare

In questa forma, un insieme è rappresentato elencando tutti gli elementi che lo compongono. Gli elementi sono racchiusi tra parentesi graffe e separati da virgole.

Di seguito sono riportati gli esempi di set in Roster o in forma tabulare:

  • Set di vocali in alfabeto inglese, A = {a, e, i, o, u}
  • Insieme di numeri dispari inferiori a 10, B = {1,3,5,7,9}

Imposta la notazione del costruttore

In questa forma, l'insieme è definito specificando una proprietà che gli elementi dell'insieme hanno in comune. L'insieme è descritto come A = {x: p (x)}

Example 1 - L'insieme {a, e, i, o, u} è scritto come

A = {x: x è una vocale in alfabeto inglese}

Example 2 - L'insieme {1,3,5,7,9} è scritto come

B = {x: 1 ≤ x <10 e (x% 2) ≠ 0}

Se un elemento x è un membro di qualsiasi insieme S, è denotato da x∈S e se un elemento y non è un membro dell'insieme S, è denotato da y∉S.

Example - Se S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S ma 1.5 ∉ S

Cardinalità di un set

La cardinalità di un insieme S, indicata con | S || S |, è il numero di elementi dell'insieme. Il numero è indicato anche come numero cardinale. Se un insieme ha un numero infinito di elementi, la sua cardinalità è ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Se ci sono due insiemi X e Y, | X | = | Y | denota due insiemi X e Y aventi la stessa cardinalità. Si verifica quando il numero di elementi in X è esattamente uguale al numero di elementi in Y. In questo caso, esiste una funzione biettiva "f" da X a Y.

| X | ≤ | Y | denota che la cardinalità dell'insieme X è minore o uguale alla cardinalità dell'insieme Y. Si verifica quando il numero di elementi in X è minore o uguale a quello di Y. Qui esiste una funzione iniettiva 'f' da X a Y.

| X | <| Y | denota che la cardinalità dell'insieme X è minore della cardinalità dell'insieme Y. Si verifica quando il numero di elementi in X è inferiore a quello di Y. Qui, la funzione "f" da X a Y è una funzione iniettiva ma non biiettiva.

Se | X | ≤ | Y | e | X | ≤ | Y | quindi | X | = | Y | . Gli insiemi X e Y sono comunemente indicati comeequivalent sets.

Tipi di set

I set possono essere classificati in molti tipi; alcuni dei quali sono finiti, infiniti, sottoinsiemi, universali, propri, singoletti, ecc

Insieme finito

Un insieme che contiene un numero definito di elementi è chiamato insieme finito.

Example - S = {x | x ∈ N e 70> x> 50}

Set infinito

Un insieme che contiene un numero infinito di elementi è chiamato un insieme infinito.

Example - S = {x | x ∈ N ex> 10}

Sottoinsieme

Un insieme X è un sottoinsieme dell'insieme Y (scritto come X ⊆ Y) se ogni elemento di X è un elemento dell'insieme Y.

Example 1- Siano X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Qui l'insieme Y è un sottoinsieme dell'insieme X poiché tutti gli elementi dell'insieme Y sono nell'insieme X. Quindi, possiamo scrivere Y⊆X.

Example 2- Siano, X = {1,2,3} e Y = {1,2,3}. Qui l'insieme Y è un sottoinsieme (non un sottoinsieme appropriato) dell'insieme X poiché tutti gli elementi dell'insieme Y sono nell'insieme X. Quindi, possiamo scrivere Y⊆X.

Sottoinsieme proprio

Il termine "sottoinsieme proprio" può essere definito come "sottoinsieme di ma non uguale a". Un insieme X è un sottoinsieme appropriato dell'insieme Y (scritto come X ⊂ Y) se ogni elemento di X è un elemento dell'insieme Y e | X | <| Y |.

Example- Siano X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Qui poni Y ⊂ X, poiché tutti gli elementi in Y sono contenuti anche in X e X ha almeno un elemento che è maggiore dell'insieme Y.

Set universale

È una raccolta di tutti gli elementi in un particolare contesto o applicazione. Tutti gli insiemi in quel contesto o applicazione sono essenzialmente sottoinsiemi di questo insieme universale. Gli insiemi universali sono rappresentati come U.

Example- Potremmo definire U come l'insieme di tutti gli animali sulla terra. In questo caso, un insieme di tutti i mammiferi è un sottoinsieme di U, un insieme di tutti i pesci è un sottoinsieme di U, un insieme di tutti gli insetti è un sottoinsieme di U e così via.

Insieme vuoto o insieme nullo

Un set vuoto non contiene elementi. È indicato con Φ. Poiché il numero di elementi in un insieme vuoto è finito, l'insieme vuoto è un insieme finito. La cardinalità dell'insieme vuoto o dell'insieme nullo è zero.

Example - S = {x | x ∈ N e 7 <x <8} = Φ

Set Singleton o Set di unità

Un set Singleton o un set di unità contiene solo un elemento. Un insieme singleton è indicato da {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Set uguale

Se due set contengono gli stessi elementi, si dice che sono uguali.

Example - Se A = {1,2,6} e B = {6,1,2}, sono uguali poiché ogni elemento dell'insieme A è un elemento dell'insieme B e ogni elemento dell'insieme B è un elemento dell'insieme A.

Set equivalente

Se le cardinalità di due insiemi sono le stesse, vengono chiamate insiemi equivalenti.

Example- Se A = {1,2,6} e B = {16,17,22}, sono equivalenti poiché la cardinalità di A è uguale alla cardinalità di B. ovvero | A | = | B | = 3

Set sovrapposti

Due insiemi che hanno almeno un elemento comune sono chiamati insiemi sovrapposti. In caso di serie sovrapposte -

$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( A \right ) + n\left ( B \right ) - n\left ( A\cap B \right )$$

$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( A-B \right )+n\left ( B-A \right )+n\left ( A\cap B \right )$$

$$n\left ( A \right ) = n\left ( A-B \right )+n\left ( A\cap B \right )$$

$$n\left ( B \right ) = n\left ( B-A \right )+n\left ( A\cap B \right )$$

Example- Siano A = {1,2,6} e B = {6,12,42}. C'è un elemento comune "6", quindi questi insiemi sono insiemi sovrapposti.

Insieme disgiunto

Due insiemi A e B sono chiamati insiemi disgiunti se non hanno nemmeno un elemento in comune. Pertanto, gli insiemi disgiunti hanno le seguenti proprietà:

$$n\left ( A\cap B \right ) = \phi$$

$$n\left ( A\cup B \right ) = n\left ( A \right )+n\left ( B \right )$$

Example - Sia A = {1,2,6} e B = {7,9,14}, non c'è un singolo elemento comune, quindi questi insiemi sono insiemi sovrapposti.

Operazioni su set classici

Le operazioni di gruppo includono Unione di gruppi, Intersezione di gruppo, Differenza di gruppo, Complemento di gruppo e Prodotto cartesiano.

Unione

L'unione degli insiemi A e B (denotati da A ∪ BA ∪ B) è l'insieme degli elementi che sono in A, in B, o sia in A che in B. Quindi, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Example - Se A = {10,11,12,13} e B = {13,14,15}, allora A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - L'elemento comune compare solo una volta.

Intersezione

L'intersezione degli insiemi A e B (denotati da A ∩ B) è l'insieme di elementi che sono sia in A che in B. Quindi, A ∩ B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}.

Differenza / Complemento relativo

La differenza di insiemi degli insiemi A e B (denotati da A – B) è l'insieme di elementi che sono solo in A ma non in B. Quindi, A - B = {x | x ∈ A AND x ∉ B}.

Example- Se A = {10,11,12,13} e B = {13,14,15}, allora (A - B) = {10,11,12} e (B - A) = {14,15} . Qui possiamo vedere (A - B) ≠ (B - A)

Complemento di un set

Il complemento di un insieme A (indicato con A ′) è l'insieme di elementi che non sono nell'insieme A. Quindi, A ′ = {x | x ∉ A}.

Più specificamente, A ′ = (U − A) dove U è un insieme universale che contiene tutti gli oggetti.

Example - Se A = {x | x appartiene a un insieme di numeri interi} allora A ′ = {y | y non appartiene a un insieme di interi dispari}

Prodotto cartesiano / Prodotto incrociato

Il prodotto cartesiano di n numero di insiemi A1, A2,… An indicato come A1 × A2 ... × An può essere definito come tutte le possibili coppie ordinate (x1, x2,… xn) dove x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, ... xn ∈ An

Example - Se prendiamo due insiemi A = {a, b} e B = {1,2},

Il prodotto cartesiano di A e B è scritto come - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

E il prodotto cartesiano di B e A è scritto come - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Proprietà degli insiemi classici

Le proprietà sui set giocano un ruolo importante per ottenere la soluzione. Di seguito sono riportate le diverse proprietà degli insiemi classici:

Proprietà commutativa

Avere due set A e B, questa proprietà afferma:

$$A \cup B = B \cup A$$

$$A \cap B = B \cap A$$

Proprietà associativa

Avere tre set A, B e C, questa proprietà afferma:

$$A\cup \left ( B\cup C \right ) = \left ( A\cup B \right )\cup C$$

$$A\cap \left ( B\cap C \right ) = \left ( A\cap B \right )\cap C$$

Proprietà distributiva

Avere tre set A, B e C, questa proprietà afferma:

$$A\cup \left ( B\cap C \right ) = \left ( A\cup B \right )\cap \left ( A\cup C \right )$$

$$A\cap \left ( B\cup C \right ) = \left ( A\cap B \right )\cup \left ( A\cap C \right )$$

Proprietà idempotenza

Per qualsiasi set A, questa proprietà afferma:

$$A\cup A = A$$

$$A\cap A = A$$

Proprietà identità

Per il set A e set universale X, questa proprietà afferma:

$$A\cup \varphi = A$$

$$A\cap X = A$$

$$A\cap \varphi = \varphi$$

$$A\cup X = X$$

Proprietà transitiva

Avere tre set A, B e C, la proprietà afferma:

Se $A\subseteq B\subseteq C$, poi $A\subseteq C$

Proprietà dell'involuzione

Per qualsiasi set A, questa proprietà afferma:

$$\overline{{\overline{A}}} = A$$

Legge di De Morgan

È una legge molto importante e supporta nel dimostrare tautologie e contraddizioni. Questa legge afferma:

$$\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

$$\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

Gli insiemi fuzzy possono essere considerati come un'estensione e una semplificazione grossolana degli insiemi classici. Può essere meglio compreso nel contesto dell'appartenenza a un insieme. Fondamentalmente consente l'appartenenza parziale, il che significa che contiene elementi che hanno diversi gradi di appartenenza all'insieme. Da questo possiamo capire la differenza tra l'insieme classico e l'insieme fuzzy. Il set classico contiene elementi che soddisfano proprietà precise di appartenenza mentre il set fuzzy contiene elementi che soddisfano proprietà imprecise di appartenenza.

Concetto matematico

Un set sfocato $\widetilde{A}$ nell'universo dell'informazione $U$ può essere definito come un insieme di coppie ordinate e può essere rappresentato matematicamente come -

$$\widetilde{A} = \left \{ \left ( y,\mu _{\widetilde{A}} \left ( y \right ) \right ) | y\in U\right \}$$

Qui $\mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right )$ = grado di appartenenza a $y$ in \ widetilde {A}, assume valori nell'intervallo da 0 a 1, ovvero $\mu _{\widetilde{A}}(y)\in \left [ 0,1 \right ]$.

Rappresentazione dell'insieme fuzzy

Consideriamo ora due casi di universo dell'informazione e comprendiamo come può essere rappresentato un insieme fuzzy.

Caso 1

Quando universo di informazioni $U$ è discreto e finito -

$$\widetilde{A} = \left \{ \frac{\mu _{\widetilde{A}}\left ( y_1 \right )}{y_1} +\frac{\mu _{\widetilde{A}}\left ( y_2 \right )}{y_2} +\frac{\mu _{\widetilde{A}}\left ( y_3 \right )}{y_3} +...\right \}$$

$= \left \{ \sum_{i=1}^{n}\frac{\mu _{\widetilde{A}}\left ( y_i \right )}{y_i} \right \}$

Caso 2

Quando universo di informazioni $U$ è continuo e infinito -

$$\widetilde{A} = \left \{ \int \frac{\mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right )}{y} \right \}$$

Nella rappresentazione sopra, il simbolo di sommatoria rappresenta la raccolta di ogni elemento.

Operazioni su set fuzzy

Avere due set sfocati $\widetilde{A}$ e $\widetilde{B}$, l'universo delle informazioni $U$ e un elemento ð ?? '¦ dell'universo, le seguenti relazioni esprimono l'operazione di unione, intersezione e complemento su insiemi fuzzy.

Union / Fuzzy "OR"

Consideriamo la seguente rappresentazione per capire come il file Union/Fuzzy ‘OR’ relazione funziona -

$$\mu _{{\widetilde{A}\cup \widetilde{B} }}\left ( y \right ) = \mu _{\widetilde{A}}\vee \mu _\widetilde{B} \quad \forall y \in U$$

Qui ∨ rappresenta l'operazione "max".

Intersezione / Fuzzy "AND"

Consideriamo la seguente rappresentazione per capire come il file Intersection/Fuzzy ‘AND’ relazione funziona -

$$\mu _{{\widetilde{A}\cap \widetilde{B} }}\left ( y \right ) = \mu _{\widetilde{A}}\wedge \mu _\widetilde{B} \quad \forall y \in U$$

Qui ∧ rappresenta l'operazione "min".

Complemento / Fuzzy "NON"

Consideriamo la seguente rappresentazione per capire come il file Complement/Fuzzy ‘NOT’ relazione funziona -

$$\mu _{\widetilde{A}} = 1-\mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right )\quad y \in U$$

Proprietà degli insiemi fuzzy

Parliamo delle diverse proprietà degli insiemi fuzzy.

Proprietà commutativa

Avere due set sfocati $\widetilde{A}$ e $\widetilde{B}$, questa proprietà afferma:

$$\widetilde{A}\cup \widetilde{B} = \widetilde{B}\cup \widetilde{A}$$

$$\widetilde{A}\cap \widetilde{B} = \widetilde{B}\cap \widetilde{A}$$

Proprietà associativa

Avere tre set sfocati $\widetilde{A}$, $\widetilde{B}$ e $\widetilde{C}$, questa proprietà afferma:

$$(\widetilde{A}\cup \left \widetilde{B}) \cup \widetilde{C} \right = \left \widetilde{A} \cup (\widetilde{B}\right )\cup \widetilde{C})$$

$$(\widetilde{A}\cap \left \widetilde{B}) \cap \widetilde{C} \right = \left \widetilde{A} \cup (\widetilde{B}\right \cap \widetilde{C})$$

Proprietà distributiva

Avere tre set sfocati $\widetilde{A}$, $\widetilde{B}$ e $\widetilde{C}$, questa proprietà afferma:

$$\widetilde{A}\cup \left ( \widetilde{B} \cap \widetilde{C}\right ) = \left ( \widetilde{A} \cup \widetilde{B}\right )\cap \left ( \widetilde{A}\cup \widetilde{C} \right )$$

$$\widetilde{A}\cap \left ( \widetilde{B}\cup \widetilde{C} \right ) = \left ( \widetilde{A} \cap \widetilde{B} \right )\cup \left ( \widetilde{A}\cap \widetilde{C} \right )$$

Proprietà idempotenza

Per qualsiasi set sfocato $\widetilde{A}$, questa proprietà afferma:

$$\widetilde{A}\cup \widetilde{A} = \widetilde{A}$$

$$\widetilde{A}\cap \widetilde{A} = \widetilde{A}$$

Proprietà identità

Per set sfocati $\widetilde{A}$ e set universale $U$, questa proprietà afferma:

$$\widetilde{A}\cup \varphi = \widetilde{A}$$

$$\widetilde{A}\cap U = \widetilde{A}$$

$$\widetilde{A}\cap \varphi = \varphi$$

$$\widetilde{A}\cup U = U$$

Proprietà transitiva

Avere tre set sfocati $\widetilde{A}$, $\widetilde{B}$ e $\widetilde{C}$, questa proprietà afferma:

$$If \: \widetilde{A}\subseteq \widetilde{B}\subseteq \widetilde{C},\:then\:\widetilde{A}\subseteq \widetilde{C}$$

Proprietà dell'involuzione

Per qualsiasi set sfocato $\widetilde{A}$, questa proprietà afferma:

$$\overline{\overline{\widetilde{A}}} = \widetilde{A}$$

Legge di De Morgan

Questa legge gioca un ruolo cruciale nel dimostrare tautologie e contraddizioni. Questa legge afferma:

$$\overline{{\widetilde{A}\cap \widetilde{B}}} = \overline{\widetilde{A}}\cup \overline{\widetilde{B}}$$

$$\overline{{\widetilde{A}\cup \widetilde{B}}} = \overline{\widetilde{A}}\cap \overline{\widetilde{B}}$$

Sappiamo già che la logica fuzzy non è logica sfocata ma logica usata per descrivere la sfocatura. Questa sfocatura è meglio caratterizzata dalla sua funzione di appartenenza. In altre parole, possiamo dire che la funzione di appartenenza rappresenta il grado di verità nella logica fuzzy.

Di seguito sono riportati alcuni punti importanti relativi alla funzione di appartenenza:

  • Le funzioni di appartenenza sono state introdotte per la prima volta nel 1965 da Lofti A. Zadeh nel suo primo documento di ricerca "set sfocati".

  • Le funzioni di appartenenza caratterizzano la sfocatura (cioè tutte le informazioni in un insieme fuzzy), indipendentemente dal fatto che gli elementi negli insiemi fuzzy siano discreti o continui.

  • Le funzioni di appartenenza possono essere definite come una tecnica per risolvere problemi pratici tramite l'esperienza piuttosto che la conoscenza.

  • Le funzioni di appartenenza sono rappresentate da forme grafiche.

  • Anche le regole per definire la sfocatura sono sfocate.

Notazione matematica

Abbiamo già studiato che un insieme fuzzy à nell'universo dell'informazione U può essere definito come un insieme di coppie ordinate e può essere rappresentato matematicamente come -

$$\widetilde{A} = \left \{ \left ( y,\mu _{\widetilde{A}} \left ( y \right ) \right ) | y\in U\right \}$$

Qui $\mu \widetilde{A}\left (\bullet \right )$ = funzione di appartenenza di $\widetilde{A}$; questo assume valori nell'intervallo da 0 a 1, ovvero$\mu \widetilde{A}\left (\bullet \right )\in \left [ 0,1 \right ]$. La funzione di appartenenza$\mu \widetilde{A}\left (\bullet \right )$ mappe $U$ allo spazio soci$M$.

Il punto $\left (\bullet \right )$nella funzione di appartenenza sopra descritta, rappresenta l'elemento in un insieme fuzzy; sia che sia discreto o continuo.

Caratteristiche delle funzioni di appartenenza

Discuteremo ora le diverse caratteristiche delle funzioni di appartenenza.

Nucleo

Per qualsiasi set sfocato $\widetilde{A}$, il nucleo di una funzione di appartenenza è quella regione dell'universo che è caratterizzata dalla piena appartenenza all'insieme. Quindi, il nucleo è costituito da tutti questi elementi$y$ dell'universo di informazioni tale che,

$$\mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right ) = 1$$

Supporto

Per qualsiasi set sfocato $\widetilde{A}$, il supporto di una funzione di appartenenza è la regione dell'universo che è caratterizzata da un'appartenenza diversa da zero nell'insieme. Quindi il nucleo è costituito da tutti questi elementi$y$ dell'universo di informazioni tale che,

$$\mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right ) > 0$$

Confine

Per qualsiasi set sfocato $\widetilde{A}$, il confine di una funzione di appartenenza è la regione dell'universo caratterizzata da un'appartenenza diversa da zero ma incompleta all'insieme. Quindi, il nucleo è costituito da tutti questi elementi$y$ dell'universo di informazioni tale che,

$$1 > \mu _{\widetilde{A}}\left ( y \right ) > 0$$

Fuzzificazione

Può essere definito come il processo di trasformazione di un set nitido in un set fuzzy o un set fuzzy in un set più sfocato. Fondamentalmente, questa operazione traduce valori di input precisi e nitidi in variabili linguistiche.

Di seguito sono riportati i due importanti metodi di fuzzificazione:

Supporta il metodo di fuzzificazione (s-fuzzificazione)

In questo metodo, l'insieme fuzzificato può essere espresso con l'aiuto della seguente relazione:

$$\widetilde{A} = \mu _1Q\left ( x_1 \right )+\mu _2Q\left ( x_2 \right )+...+\mu _nQ\left ( x_n \right )$$

Qui il set sfocato $Q\left ( x_i \right )$è chiamato come kernel di fuzzificazione. Questo metodo viene implementato mantenendo$\mu _i$ costante e $x_i$ essere trasformato in un set sfocato $Q\left ( x_i \right )$.

Metodo di fuzzificazione del grado (g-fuzzificazione)

È abbastanza simile al metodo sopra ma la differenza principale è che è stato mantenuto $x_i$ costante e $\mu _i$ è espresso come un insieme fuzzy.

Defuzzificazione

Può essere definito come il processo di riduzione di un insieme sfocato in un insieme croccante o per convertire un elemento sfocato in un elemento croccante.

Abbiamo già studiato che il processo di fuzzificazione implica la conversione da quantità croccanti a quantità fuzzy. In un certo numero di applicazioni ingegneristiche, è necessario defuzzificare il risultato o meglio il "risultato fuzzy" in modo che debba essere convertito in un risultato nitido. Matematicamente, il processo di defuzzificazione è anche chiamato "arrotondamento".

I diversi metodi di defuzzificazione sono descritti di seguito:

Metodo Max-Membership

Questo metodo è limitato alle funzioni di output di picco e noto anche come metodo di altezza. Matematicamente può essere rappresentato come segue:

$$\mu _{\widetilde{A}}\left ( x^* \right )>\mu _{\widetilde{A}}\left ( x \right ) \: for \:all\:x \in X$$

Qui, $x^*$ è l'uscita defuzzificata.

Metodo del centroide

Questo metodo è noto anche come metodo del centro di area o del centro di gravità. Matematicamente, l'uscita defuzzificata$x^*$ sarà rappresentato come -

$$x^* = \frac{\int \mu _{\widetilde{A}}\left ( x \right ).xdx}{\int \mu _{\widetilde{A}}\left ( x \right ).dx}$$

Metodo della media ponderata

In questo metodo, ogni funzione di appartenenza viene ponderata in base al valore massimo di appartenenza. Matematicamente, l'uscita defuzzificata$x^*$ sarà rappresentato come -

$$x^* = \frac{\sum \mu _{\widetilde{A}}\left ( \overline{x_i} \right ).\overline{x_i}}{\sum \mu _{\widetilde{A}}\left ( \overline{x_i} \right )}$$

Iscrizione Mean-Max

Questo metodo è anche conosciuto come la metà dei massimi. Matematicamente, l'uscita defuzzificata$x^*$ sarà rappresentato come -

$$x^* = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\overline{x_i}}{n}$$

La logica, che originariamente era solo lo studio di ciò che distingue un argomento valido da un argomento non corretto, si è ora sviluppato in un sistema potente e rigoroso in base al quale è possibile scoprire affermazioni vere, date altre affermazioni che sono già note per essere vere.

Logica del predicato

Questa logica si occupa dei predicati, che sono proposizioni contenenti variabili.

Un predicato è un'espressione di una o più variabili definite su un dominio specifico. Un predicato con variabili può essere proposto sia assegnando un valore alla variabile sia quantificando la variabile.

Di seguito sono riportati alcuni esempi di predicati:

  • Sia E (x, y) "x = y"
  • Sia X (a, b, c) "a + b + c = 0"
  • Sia M (x, y) "x è sposato con y"

Proposizione logica

Una proposizione è una raccolta di asserzioni dichiarative che hanno un valore di verità "vero" o un valore di verità "falso". Una proposizione consiste di variabili proposizionali e connettivi. Le variabili proposizionali sono intaccate da lettere maiuscole (A, B, ecc.). I connettivi collegano le variabili proposizionali.

Di seguito vengono forniti alcuni esempi di proposizioni:

  • "L'uomo è mortale", restituisce il valore di verità "VERO"
  • "12 + 9 = 3 - 2", restituisce il valore di verità "FALSE"

Quanto segue non è una proposta:

  • "A is less than 2" - È perché, a meno che non diamo un valore specifico di A, non possiamo dire se l'affermazione è vera o falsa.

Connettivi

Nella logica proposizionale, usiamo i seguenti cinque connettivi:

  • O (∨∨)
  • AND (∧∧)
  • Negazione / NON (¬¬)
  • Implicazione / se-allora (→→)
  • Se e solo se (⇔⇔)

O (∨∨)

L'operazione OR di due proposizioni A e B (scritte come A∨BA∨B) è vera se almeno una qualsiasi delle variabili proposizionali A o B è vera.

La tabella della verità è la seguente:

UN B A ∨ B
Vero Vero Vero
Vero Falso Vero
Falso Vero Vero
Falso Falso Falso

AND (∧∧)

L'operazione AND di due proposizioni A e B (scritte come A∧BA∧B) è vera se entrambe le variabili proposizionali A e B sono vere.

La tabella della verità è la seguente:

UN B A ∧ B
Vero Vero Vero
Vero Falso Falso
Falso Vero Falso
Falso Falso Falso

Negazione (¬¬)

La negazione di una proposizione A (scritta come ¬A¬A) è falsa quando A è vera ed è vera quando A è falsa.

La tabella della verità è la seguente:

UN ¬A
Vero Falso
Falso Vero

Implicazione / se-allora (→→)

Un'implicazione A → BA → B è la proposizione "se A, allora B". È falso se A è vero e B è falso. Gli altri casi sono veri.

La tabella della verità è la seguente:

UN B A → B
Vero Vero Vero
Vero Falso Falso
Falso Vero Vero
Falso Falso Vero

Se e solo se (⇔⇔)

A⇔BA⇔B è un connettivo logico bi-condizionale che è vero quando peq sono uguali, cioè entrambi sono falsi o entrambi sono veri.

La tabella della verità è la seguente:

UN B A⇔B
Vero Vero Vero
Vero Falso Falso
Falso Vero Falso
Falso Falso Vero

Formula ben formata

Well Formed Formula (wff) è un predicato che contiene uno dei seguenti:

  • Tutte le costanti proposizionali e le variabili proposizionali sono wffs.
  • Se x è una variabile e Y è una wff, anche ∀xY e ∃xY sono wff.
  • Il valore di verità e i valori falsi sono wffs.
  • Ogni formula atomica è un wff.
  • Tutti i connettivi che collegano wffs sono wffs.

Quantificatori

La variabile dei predicati viene quantificata da quantificatori. Esistono due tipi di quantificatori nella logica dei predicati:

  • Quantificatore universale
  • Quantificatore esistenziale

Quantificatore universale

Il quantificatore universale afferma che le dichiarazioni all'interno del suo ambito sono vere per ogni valore della variabile specifica. È indicato dal simbolo ∀.

∀xP(x) viene letto come per ogni valore di x, P (x) è vero.

Example- "L'uomo è mortale" può essere trasformato nella forma proposizionale ∀xP (x). Qui, P (x) è il predicato che denota che x è mortale e l'universo del discorso è tutto uomini.

Quantificatore esistenziale

Il quantificatore esistenziale afferma che le affermazioni nel suo ambito sono vere per alcuni valori della variabile specifica. È indicato dal simbolo ∃.

∃xP(x) per alcuni valori di x viene letto come, P (x) è vero.

Example - "Alcune persone sono disoneste" può essere trasformato nella forma proposizionale ∃x P (x) dove P (x) è il predicato che denota x è disonesto e l'universo del discorso è alcune persone.

Quantificatori annidati

Se utilizziamo un quantificatore che appare nell'ambito di un altro quantificatore, viene chiamato quantificatore annidato.

Example

  • ∀ a∃bP (x, y) dove P (a, b) denota a + b = 0
  • ∀ a∀b∀cP (a, b, c) dove P (a, b) denota a + (b + c) = (a + b) + c

Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)

Di seguito sono riportate le diverse modalità di ragionamento approssimativo:

Ragionamento categoriale

In questa modalità di ragionamento approssimativo, si presume che gli antecedenti, che non contengono quantificatori fuzzy e probabilità fuzzy, siano in forma canonica.

Ragionamento qualitativo

In questo modo di ragionamento approssimato, gli antecedenti e i conseguenti hanno variabili linguistiche fuzzy; la relazione input-output di un sistema è espressa come un insieme di regole fuzzy IF-THEN. Questo ragionamento è utilizzato principalmente nell'analisi del sistema di controllo.

Ragionamento sillogistico

In questa modalità di ragionamento di approssimazione, gli antecedenti con quantificatori fuzzy sono correlati alle regole di inferenza. Questo è espresso come -

x = S 1 A sono B.

y = S 2 C sono D

------------------------

z = S 3 Gli E sono F

Qui A, B, C, D, E, F sono predicati sfocati.

  • S 1 e S 2 sono dati quantificatori fuzzy.

  • S 3 è il quantificatore fuzzy che deve essere deciso.

Ragionamento disposizionale

In questo modo di ragionamento di approssimazione, gli antecedenti sono disposizioni che possono contenere il quantificatore fuzzy “normalmente”. Il quantificatoreUsuallycollega insieme il ragionamento disposizionale e il ragionamento sillogistico; quindi paga un ruolo importante.

Ad esempio, la regola di proiezione dell'inferenza nel ragionamento disposizionale può essere fornita come segue:

di solito ((L, M) è R) ⇒ solitamente (L è [R ↓ L])

Qui [R ↓ L] è la proiezione della relazione fuzzy R sopra L

Base regola logica fuzzy

È un fatto noto che un essere umano è sempre a suo agio nel fare conversazioni in linguaggio naturale. La rappresentazione della conoscenza umana può essere eseguita con l'aiuto della seguente espressione del linguaggio naturale:

IF antecedente THEN conseguente

L'espressione di cui sopra è denominata base di regola Fuzzy IF-THEN.

Forma canonica

La seguente è la forma canonica di Fuzzy Logic Rule Base -

Rule 1 - Se la condizione C1, allora la restrizione R1

Rule 2 - Se la condizione C1, allora la restrizione R2

.

.

.

Rule n - Se la condizione C1, allora la restrizione Rn

Interpretazioni delle regole Fuzzy IF-THEN

Le regole Fuzzy IF-THEN possono essere interpretate nelle seguenti quattro forme:

Dichiarazioni di assegnazione

Questi tipi di dichiarazioni utilizzano "=" (uguale al segno) ai fini dell'assegnazione. Sono della seguente forma:

a = ciao

clima = estate

Dichiarazioni condizionali

Questi tipi di affermazioni utilizzano il modulo base della regola "IF-THEN" ai fini della condizione. Sono della seguente forma:

SE la temperatura è alta ALLORA il clima è caldo

SE il cibo è fresco POI mangiarlo.

Dichiarazioni incondizionate

Sono della seguente forma:

GOTO 10

spegnere la ventola

Variabile linguistica

Abbiamo studiato che la logica fuzzy utilizza variabili linguistiche che sono le parole o le frasi in un linguaggio naturale. Ad esempio, se diciamo temperatura, è una variabile linguistica; i cui valori sono molto caldo o freddo, leggermente caldo o freddo, molto caldo, leggermente caldo, ecc. Le parole molto, leggermente sono le siepi linguistiche.

Caratterizzazione della variabile linguistica

I seguenti quattro termini caratterizzano la variabile linguistica:

  • Nome della variabile, generalmente rappresentato da x.
  • Insieme di termini della variabile, generalmente rappresentato da t (x).
  • Regole sintattiche per la generazione dei valori della variabile x.
  • Regole semantiche per collegare ogni valore di x e il suo significato.

Proposte in logica fuzzy

Come sappiamo che le proposizioni sono frasi espresse in qualsiasi lingua che sono generalmente espresse nella seguente forma canonica:

s come P

Qui, s è il soggetto e P è il predicato.

Ad esempio, " Delhi è la capitale dell'India ", questa è una proposizione in cui " Delhi " è il soggetto e " è la capitale dell'India " è il predicato che mostra la proprietà del soggetto.

Sappiamo che la logica è la base del ragionamento e la logica fuzzy estende la capacità di ragionamento utilizzando predicati fuzzy, modificatori di predicati fuzzy, quantificatori fuzzy e qualificatori fuzzy in proposizioni fuzzy che crea la differenza dalla logica classica.

Le proposizioni in logica fuzzy includono quanto segue:

Predicato fuzzy

Quasi tutti i predicati in linguaggio naturale sono di natura sfocata, quindi la logica sfocata ha i predicati come alto, basso, caldo, caldo, veloce, ecc.

Modificatori del predicato fuzzy

Abbiamo discusso di siepi linguistiche sopra; abbiamo anche molti modificatori del predicato fuzzy che agiscono come coperture. Sono molto essenziali per produrre i valori di una variabile linguistica. Ad esempio, le parole molto, leggermente sono modificatori e le proposizioni possono essere come "l' acqua è leggermente calda ".

Quantificatori fuzzy

Può essere definito come un numero fuzzy che fornisce una classificazione vaga della cardinalità di uno o più insiemi fuzzy o non fuzzy. Può essere utilizzato per influenzare la probabilità all'interno della logica fuzzy. Ad esempio, le parole molti, più frequentemente sono usate come quantificatori fuzzy e le proposizioni possono essere come "la maggior parte delle persone è allergica ad essa ".

Qualificazioni fuzzy

Vediamo ora di capire qualificazioni fuzzy. Un Fuzzy Qualifier è anche una proposta di Fuzzy Logic. La qualifica fuzzy ha le seguenti forme:

Qualificazione fuzzy basata sulla verità

Afferma il grado di verità di una proposizione sfocata.

Expression- È espresso come x è t . Qui, t è un valore di verità sfocato.

Example - (L'auto è nera) NON è MOLTO vero.

Qualificazione fuzzy basata sulla probabilità

Afferma la probabilità, numerica o un intervallo, di proposizione fuzzy.

Expression- È espresso come x è λ . In questo caso λ è una probabilità fuzzy.

Example - (L'auto è nera) è probabile.

Qualificazione fuzzy basata sulla possibilità

Afferma la possibilità di proposizioni sfocate.

Expression- È espresso come x è π . Qui, π è una possibilità sfocata.

Example - (L'auto è nera) è quasi impossibile.

Il sistema di inferenza fuzzy è l'unità chiave di un sistema di logica fuzzy che ha come compito principale il processo decisionale. Utilizza le regole "IF ... THEN" insieme ai connettori "OR" o "AND" per disegnare regole decisionali essenziali.

Caratteristiche del sistema di inferenza fuzzy

Di seguito sono riportate alcune caratteristiche della FIS:

  • L'output da FIS è sempre un set fuzzy indipendentemente dal suo input che può essere fuzzy o nitido.

  • È necessario avere un'uscita fuzzy quando viene utilizzato come controller.

  • Un'unità di defuzzificazione sarebbe lì con FIS per convertire le variabili fuzzy in variabili nitide.

Blocchi funzionali di FIS

I seguenti cinque blocchi funzionali ti aiuteranno a comprendere la costruzione di FIS:

  • Rule Base - Contiene regole sfocate IF-THEN.

  • Database - Definisce le funzioni di appartenenza degli insiemi fuzzy usati nelle regole fuzzy.

  • Decision-making Unit - Esegue operazioni su regole.

  • Fuzzification Interface Unit - Converte le quantità croccanti in quantità sfocate.

  • Defuzzification Interface Unit- Converte le quantità sfocate in quantità croccanti. Di seguito è riportato uno schema a blocchi del sistema di interferenza fuzzy.

Funzionamento della FIS

Il funzionamento della FIS consiste nei seguenti passaggi:

  • Un'unità di fuzzificazione supporta l'applicazione di numerosi metodi di fuzzificazione e converte l'input nitido in input fuzzy.

  • Una base di conoscenza: la raccolta della base di regole e del database si forma sulla conversione di un input nitido in input fuzzy.

  • L'input fuzzy dell'unità di defuzzificazione viene infine convertito in un output nitido.

Metodi di FIS

Parliamo ora dei diversi metodi di FIS. Di seguito sono riportati i due metodi importanti della FIS, aventi diversi conseguenti a regole fuzzy:

  • Sistema di inferenza fuzzy Mamdani
  • Modello Fuzzy Takagi-Sugeno (metodo TS)

Sistema di inferenza fuzzy Mamdani

Questo sistema è stato proposto nel 1975 da Ebhasim Mamdani. Fondamentalmente, si prevedeva di controllare una combinazione di motore a vapore e caldaia sintetizzando una serie di regole sfocate ottenute da persone che lavoravano sul sistema.

Passaggi per il calcolo dell'output

I seguenti passaggi devono essere seguiti per calcolare l'output da questo FIS -

  • Step 1 - In questo passaggio è necessario determinare una serie di regole fuzzy.

  • Step 2 - In questo passaggio, utilizzando la funzione di appartenenza all'ingresso, l'input sarebbe reso sfocato.

  • Step 3 - Ora stabilisci la forza della regola combinando gli input fuzzificati secondo regole fuzzy.

  • Step 4 - In questa fase, determinare il conseguente della regola combinando la forza della regola e la funzione di appartenenza in uscita.

  • Step 5 - Per ottenere la distribuzione dell'output combinare tutti i conseguenti.

  • Step 6 - Infine, si ottiene una distribuzione dell'output defuzzificata.

Di seguito è riportato uno schema a blocchi del sistema di interfaccia fuzzy Mamdani.

Modello Fuzzy Takagi-Sugeno (metodo TS)

Questo modello è stato proposto da Takagi, Sugeno e Kang nel 1985. Il formato di questa regola è dato come:

SE x è A ey è B ALLORA Z = f (x, y)

Qui, AB sono insiemi fuzzy negli antecedenti ez = f (x, y) è una funzione nitida nel conseguente.

Processo di inferenza fuzzy

Il processo di inferenza fuzzy sotto il modello fuzzy Takagi-Sugeno (metodo TS) funziona nel modo seguente:

  • Step 1: Fuzzifying the inputs - Qui, gli input del sistema sono sfocati.

  • Step 2: Applying the fuzzy operator - In questo passaggio, è necessario applicare gli operatori fuzzy per ottenere l'output.

Formato regola del modulo Sugeno

Il formato della regola del modulo Sugeno è dato da -

se 7 = x e 9 = y, l'output è z = ax + by + c

Confronto tra i due metodi

Vediamo ora il confronto tra il Sistema Mamdani e il Modello Sugeno.

  • Output Membership Function- La principale differenza tra loro è sulla base della funzione di appartenenza all'output. Le funzioni di appartenenza all'output di Sugeno sono lineari o costanti.

  • Aggregation and Defuzzification Procedure - La differenza tra loro sta anche nella conseguenza di regole fuzzy e per le stesse differisce anche la loro procedura di aggregazione e defuzzificazione.

  • Mathematical Rules - Esistono più regole matematiche per la regola Sugeno rispetto alla regola Mamdani.

  • Adjustable Parameters - Il controller Sugeno ha più parametri regolabili rispetto al controller Mamdani.

Abbiamo studiato nei nostri capitoli precedenti che Fuzzy Logic è un approccio al calcolo basato su "gradi di verità" piuttosto che sulla solita logica "vero o falso". Si tratta di un ragionamento approssimativo piuttosto che preciso per risolvere i problemi in un modo che assomiglia di più alla logica umana, quindi il processo di interrogazione del database da parte della realizzazione a due valori dell'algebra booleana non è adeguato.

Scenario fuzzy delle relazioni sui database

Lo scenario fuzzy delle relazioni sui database può essere compreso con l'aiuto del seguente esempio:

Esempio

Supponiamo di avere un database con i record delle persone che hanno visitato l'India. In un database semplice, avremo le voci effettuate nel modo seguente:

Nome Età Cittadino Paese visitato Giorni trascorsi Anno della visita
John Smith 35 NOI India 41 1999
John Smith 35 NOI Italia 72 1999
John Smith 35 NOI Giappone 31 1999

Ora, se qualcuno fa domande sulla persona che ha visitato l'India e il Giappone nell'anno 99 ed è cittadina degli Stati Uniti, l'output mostrerà due voci con il nome di John Smith. Questa è una semplice query che genera un output semplice.

Ma cosa succede se vogliamo sapere se la persona nella query sopra è giovane o no. Secondo il risultato di cui sopra, l'età della persona è di 35 anni. Ma possiamo presumere che la persona sia giovane o no? Allo stesso modo, la stessa cosa può essere applicata agli altri campi come giorni trascorsi, anno di visita, ecc.

La soluzione dei problemi di cui sopra può essere trovata con l'aiuto dei set di valori fuzzy come segue:

  • FV (età) {molto giovane, giovane, un po 'vecchio, vecchio}

  • FV (Days Spent) {a malapena pochi giorni, pochi giorni, parecchi giorni, molti giorni}

  • FV (anno di visita) {passato lontano, passato recente, recente}

  • Ora, se una qualsiasi query avrà il valore fuzzy, anche il risultato sarà di natura fuzzy.

Sistema di query fuzzy

Un sistema di query fuzzy è un'interfaccia che consente agli utenti di ottenere informazioni dal database utilizzando frasi in linguaggio (quasi) naturale. Sono state proposte molte implementazioni di query fuzzy, risultando in linguaggi leggermente diversi. Sebbene vi siano alcune variazioni in base alle particolarità delle diverse implementazioni, la risposta a una frase di query fuzzy è generalmente un elenco di record, classificati in base al grado di corrispondenza.

Nella modellazione delle affermazioni in linguaggio naturale, le affermazioni quantificate giocano un ruolo importante. Significa che NL dipende fortemente dalla quantificazione della costruzione che spesso include concetti sfocati come "quasi tutto", "molti", ecc. Di seguito sono riportati alcuni esempi di proposizioni quantificanti -

  • Ogni studente ha superato l'esame.
  • Ogni auto sportiva è costosa.
  • Molti studenti hanno superato l'esame.
  • Molte auto sportive sono costose.

Negli esempi precedenti, i quantificatori "Every" e "Many" vengono applicati alle limitazioni chiare "studenti", nonché all'ambito definito "(persona che) ha superato l'esame" e alle "automobili", nonché all'ambito "sport".

Eventi fuzzy, medie fuzzy e varianze fuzzy

Con l'aiuto di un esempio, possiamo comprendere i concetti di cui sopra. Supponiamo di essere un azionista di una società denominata ABC. E attualmente la società vende ciascuna delle sue azioni per ₹ 40. Ci sono tre diverse società la cui attività è simile a ABC, ma offrono le loro azioni a tassi diversi: ₹ 100 per azione, ₹ 85 per azione e ₹ 60 per azione.

Ora la distribuzione di probabilità di questa acquisizione del prezzo è la seguente:

Prezzo ₹ 100 ₹ 85 ₹ 60
Probabilità 0.3 0,5 0.2

Ora, dalla teoria della probabilità standard, la distribuzione sopra fornisce una media del prezzo atteso come sotto -

$100 × 0.3 + 85 × 0.5 + 60 × 0.2 = 84.5$

E, dalla teoria della probabilità standard, la distribuzione sopra fornisce una varianza del prezzo atteso come sotto -

$(100 − 84.5)2 × 0.3 + (85 − 84.5)2 × 0.5 + (60 − 84.5)2 × 0.2 = 124.825$

Supponiamo che il grado di appartenenza di 100 in questo insieme sia 0,7, quello di 85 sia 1 e il grado di appartenenza sia 0,5 per il valore 60. Questi possono essere riflessi nel seguente insieme fuzzy:

$$\left \{ \frac{0.7}{100}, \: \frac{1}{85}, \: \frac{0.5}{60}, \right \}$$

Il fuzzy set ottenuto in questo modo è chiamato evento fuzzy.

Vogliamo la probabilità dell'evento fuzzy per il quale il nostro calcolo fornisce:

$0.7 × 0.3 + 1 × 0.5 + 0.5 × 0.2 = 0.21 + 0.5 + 0.1 = 0.81$

Ora, dobbiamo calcolare la media fuzzy e la varianza fuzzy, il calcolo è il seguente:

Fuzzy_mean $= \left ( \frac{1}{0.81} \right ) × (100 × 0.7 × 0.3 + 85 × 1 × 0.5 + 60 × 0.5 × 0.2)$

$= 85.8$

Fuzzy_Variance $= 7496.91 − 7361.91 = 135.27$

È un'attività che comprende i passaggi da compiere per scegliere un'alternativa adeguata tra quelle necessarie per realizzare un determinato obiettivo.

Passaggi per il processo decisionale

Parliamo ora dei passaggi coinvolti nel processo decisionale:

  • Determining the Set of Alternatives - In questa fase devono essere determinate le alternative da cui prendere la decisione.

  • Evaluating Alternative - Qui, le alternative devono essere valutate in modo che la decisione possa essere presa su una delle alternative.

  • Comparison between Alternatives - In questa fase viene effettuato un confronto tra le alternative valutate.

Tipi di decisione

Processo Ora capiremo i diversi tipi di processo decisionale.

Processo decisionale individuale

In questo tipo di processo decisionale, solo una persona è responsabile di prendere decisioni. Il modello decisionale in questo tipo può essere caratterizzato come:

  • Insieme di possibili azioni

  • Insieme di obiettivi $G_i\left ( i \: \in \: X_n \right );$

  • Insieme di vincoli $C_j\left ( j \: \in \: X_m \right )$

Gli obiettivi e i vincoli sopra indicati sono espressi in termini di insiemi fuzzy.

Consideriamo ora un insieme A. Quindi, l'obiettivo e i vincoli per questo insieme sono dati da:

$G_i\left ( a \right )$ = composizione$\left [ G_i\left ( a \right ) \right ]$ = $G_i^1\left ( G_i\left ( a \right ) \right )$ con $G_i^1$

$C_j\left ( a \right )$ = composizione$\left [ C_j\left ( a \right ) \right ]$ = $C_j^1\left ( C_j\left ( a \right ) \right )$ con $C_j^1$ per $a\:\in \:A$

La decisione confusa nel caso di cui sopra è data da:

$$F_D = min[i\in X_{n}^{in}fG_i\left ( a \right ),j\in X_{m}^{in}fC_j\left ( a \right )]$$

Processo decisionale multi-persona

Il processo decisionale in questo caso include più persone in modo che la conoscenza esperta di varie persone venga utilizzata per prendere decisioni.

Il calcolo per questo può essere fornito come segue:

Number of persons preferring $x_i$ to $x_j$ = $N\left ( x_i, \: x_j \right )$

Total number of decision makers = $n$

Poi, $SC\left ( x_i, \: x_j \right ) = \frac{N\left ( x_i, \: x_j \right )}{n}$

Processo decisionale multi-obiettivo

Il processo decisionale multi-obiettivo si verifica quando ci sono diversi obiettivi da realizzare. Ci sono due problemi seguenti in questo tipo di processo decisionale:

  • Acquisire adeguate informazioni relative al soddisfacimento degli obiettivi mediante varie alternative.

  • Per valutare l'importanza relativa di ogni obiettivo.

Matematicamente possiamo definire un universo di n alternative come -

$A = \left [ a_1, \:a_2,\:..., \: a_i, \: ..., \:a_n \right ]$

E l'insieme di obiettivi "m" come $O = \left [ o_1, \:o_2,\:..., \: o_i, \: ..., \:o_n \right ]$

Processo decisionale multi-attributo

Il processo decisionale multi-attributo ha luogo quando la valutazione delle alternative può essere effettuata sulla base di diversi attributi dell'oggetto. Gli attributi possono essere dati numerici, dati linguistici e dati qualitativi.

Matematicamente, la valutazione multi-attributo viene eseguita sulla base dell'equazione lineare come segue:

$$Y = A_1X_1+A_2X_2+...+A_iX_i+...+A_rX_r$$

La logica fuzzy viene applicata con grande successo in varie applicazioni di controllo. Quasi tutti i prodotti di consumo hanno un controllo sfocato. Alcuni degli esempi includono il controllo della temperatura ambiente con l'ausilio di condizionatori d'aria, sistemi anti-frenata utilizzati nei veicoli, controllo sui semafori, lavatrici, grandi sistemi economici, ecc.

Perché utilizzare la logica fuzzy nei sistemi di controllo

Un sistema di controllo è una disposizione di componenti fisici progettati per alterare un altro sistema fisico in modo che questo sistema mostri determinate caratteristiche desiderate. Di seguito sono riportati alcuni motivi per utilizzare Fuzzy Logic nei sistemi di controllo:

  • Nell'applicare il controllo tradizionale è necessario conoscere il modello e la funzione obiettivo formulata in termini precisi. Ciò rende molto difficile l'applicazione in molti casi.

  • Applicando la logica fuzzy per il controllo possiamo utilizzare la competenza e l'esperienza umana per progettare un controller.

  • Le regole di controllo fuzzy, fondamentalmente le regole IF-THEN, possono essere utilizzate al meglio nella progettazione di un controller.

Presupposti nella progettazione FLC (Fuzzy Logic Control)

Durante la progettazione del sistema di controllo fuzzy, dovrebbero essere fatte le seguenti sei ipotesi di base:

  • The plant is observable and controllable - Si deve presumere che le variabili di input, output e stato siano disponibili per scopi di osservazione e controllo.

  • Existence of a knowledge body - Si deve presumere che esista un corpo di conoscenza con regole linguistiche e una serie di dati di input-output da cui è possibile estrarre le regole.

  • Existence of solution - Si deve presumere che esista una soluzione.

  • ‘Good enough’ solution is enough - L'ingegneria di controllo deve cercare una soluzione "sufficientemente buona" piuttosto che ottimale.

  • Range of precision - Il fuzzy logic controller deve essere progettato entro un intervallo di precisione accettabile.

  • Issues regarding stability and optimality - Le questioni di stabilità e ottimalità devono essere aperte nella progettazione del Fuzzy logic controller piuttosto che affrontate esplicitamente.

Architettura del controllo logico fuzzy

Il diagramma seguente mostra l'architettura di Fuzzy Logic Control (FLC).

Componenti principali di FLC

I seguenti sono i componenti principali dell'FLC come mostrato nella figura sopra:

  • Fuzzifier - Il ruolo del fuzzifier è convertire i valori di input nitidi in valori fuzzy.

  • Fuzzy Knowledge Base- Memorizza la conoscenza di tutte le relazioni fuzzy input-output. Possiede anche la funzione di appartenenza che definisce le variabili di input alla fuzzy rule base e le variabili di output all'impianto sotto controllo.

  • Fuzzy Rule Base - Memorizza la conoscenza sul funzionamento del processo di dominio.

  • Inference Engine- Agisce come un kernel di qualsiasi FLC. Fondamentalmente simula le decisioni umane eseguendo un ragionamento approssimativo.

  • Defuzzifier - Il ruolo del defuzzy è convertire i valori fuzzy in valori nitidi ottenuti dal motore di inferenza fuzzy.

Fasi della progettazione di FLC

Di seguito sono riportati i passaggi coinvolti nella progettazione di FLC:

  • Identification of variables - Qui devono essere identificate le variabili di ingresso, uscita e stato dell'impianto preso in considerazione.

  • Fuzzy subset configuration- L'universo delle informazioni è suddiviso in numero di sottoinsiemi fuzzy e ad ogni sottoinsieme viene assegnata un'etichetta linguistica. Assicurati sempre che questi sottoinsiemi sfocati includano tutti gli elementi dell'universo.

  • Obtaining membership function - Ora ottieni la funzione di appartenenza per ogni sottoinsieme fuzzy che otteniamo nel passaggio precedente.

  • Fuzzy rule base configuration - Ora formula la base di regole fuzzy assegnando una relazione tra input e output fuzzy.

  • Fuzzification - Il processo di fuzzificazione viene avviato in questa fase.

  • Combining fuzzy outputs - Applicando un ragionamento approssimativo fuzzy, individua l'output fuzzy e uniscili.

  • Defuzzification - Infine, avvia il processo di defuzzificazione per formare un risultato nitido.

Vantaggi del controllo logico fuzzy

Parliamo ora dei vantaggi del Fuzzy Logic Control.

  • Cheaper - Lo sviluppo di un FLC è relativamente più economico rispetto allo sviluppo di controller basati su modelli o di altro tipo in termini di prestazioni.

  • Robust - Gli FLC sono più robusti dei controller PID grazie alla loro capacità di coprire una vasta gamma di condizioni operative.

  • Customizable - Gli FLC sono personalizzabili.

  • Emulate human deductive thinking - Fondamentalmente FLC è progettato per emulare il pensiero deduttivo umano, il processo che le persone usano per inferire conclusioni da ciò che sanno.

  • Reliability - FLC è più affidabile del sistema di controllo convenzionale.

  • Efficiency - La logica fuzzy fornisce una maggiore efficienza se applicata nel sistema di controllo.

Svantaggi del controllo logico fuzzy

Discuteremo ora quali sono gli svantaggi di Fuzzy Logic Control.

  • Requires lots of data - FLC necessita di molti dati per essere applicato.

  • Useful in case of moderate historical data - FLC non è utile per programmi molto più piccoli o più grandi dei dati storici.

  • Needs high human expertise - Questo è uno svantaggio poiché l'accuratezza del sistema dipende dalla conoscenza e dall'esperienza degli esseri umani.

  • Needs regular updating of rules - Le regole devono essere aggiornate nel tempo.

In questo capitolo, discuteremo cosa è un controller fuzzy adattivo e come funziona. Adaptive Fuzzy Controller è progettato con alcuni parametri regolabili insieme a un meccanismo incorporato per regolarli. Il controller adattivo è stato utilizzato per migliorare le prestazioni del controller.

Passaggi di base per l'implementazione dell'algoritmo adattivo

Discutiamo ora i passaggi di base per l'implementazione dell'algoritmo adattivo.

  • Collection of observable data - I dati osservabili vengono raccolti per calcolare le prestazioni del controller.

  • Adjustment of controller parameters - Ora, con l'aiuto delle prestazioni del controller, verrebbe eseguito il calcolo della regolazione dei parametri del controller.

  • Improvement in performance of controller - In questa fase, i parametri del controller vengono regolati per migliorare le prestazioni del controller.

Concetti operativi

La progettazione di un controller si basa su un modello matematico presunto che assomiglia a un sistema reale. Viene calcolato l'errore tra il sistema effettivo e la sua rappresentazione matematica e, se è relativamente insignificante, si presume che il modello funzioni efficacemente.

Esiste anche una costante di soglia che stabilisce un limite per l'efficacia di un controller. L'input di controllo viene immesso sia nel sistema reale che nel modello matematico. Ecco, presumo$x\left ( t \right )$ è l'output del sistema reale e $y\left ( t \right )$è l'output del modello matematico. Poi l'errore$\epsilon \left ( t \right )$ può essere calcolato come segue:

$$\epsilon \left ( t \right ) = x\left ( t \right ) - y\left ( t \right )$$

Qui, $x$ desiderato è l'output che vogliamo dal sistema e $\mu \left ( t \right )$ è l'output proveniente dal controller e diretto sia al modello reale che a quello matematico.

Il diagramma seguente mostra come viene tracciata la funzione di errore tra l'output di un sistema reale e il modello matematico -

Parametrizzazione del sistema

Un controller fuzzy il cui design è basato sul modello matematico fuzzy avrà la seguente forma di regole fuzzy:

Rule 1 - IF $x_1\left ( t_n \right )\in X_{11} \: AND...AND\: x_i\left ( t_n \right )\in X_{1i}$

POI $\mu _1\left ( t_n \right ) = K_{11}x_1\left ( t_n \right ) + K_{12}x_2\left ( t_n \right ) \: +...+ \: K_{1i}x_i\left ( t_n \right )$

Rule 2 - IF $x_1\left ( t_n \right )\in X_{21} \: AND...AND \: x_i\left ( t_n \right )\in X_{2i}$

POI $\mu _2\left ( t_n \right ) = K_{21}x_1\left ( t_n \right ) + K_{22}x_2\left ( t_n \right ) \: +...+ \: K_{2i}x_i\left ( t_n \right ) $

.

.

.

Rule j - IF $x_1\left ( t_n \right )\in X_{k1} \: AND...AND \: x_i\left ( t_n \right )\in X_{ki}$

POI $\mu _j\left ( t_n \right ) = K_{j1}x_1\left ( t_n \right ) + K_{j2}x_2\left ( t_n \right ) \: +...+ \: K_{ji}x_i\left ( t_n \right ) $

Il set di parametri sopra riportato caratterizza il controller.

Regolazione del meccanismo

I parametri del controller vengono regolati per migliorare le prestazioni del controller. Il processo di calcolo dell'adeguamento ai parametri è il meccanismo di regolazione.

Matematicamente, lascia $\theta ^\left ( n \right )$ essere un insieme di parametri da regolare al momento $t = t_n$. La regolazione può essere il ricalcolo dei parametri,

$$\theta ^\left ( n \right ) = \Theta \left ( D_0,\: D_1, \: ..., \:D_n \right )$$

Qui $D_n$ sono i dati raccolti al momento $t = t_n$.

Ora questa formulazione viene riformulata dall'aggiornamento del set di parametri in base al suo valore precedente come,

$$\theta ^\left ( n \right ) = \phi ( \theta ^{n-1}, \: D_n)$$

Parametri per la selezione di un controller fuzzy adattivo

I seguenti parametri devono essere considerati per la selezione di un controller fuzzy adattivo:

  • Il sistema può essere approssimato interamente da un modello fuzzy?

  • Se un sistema può essere approssimato interamente da un modello fuzzy, i parametri di questo modello fuzzy sono prontamente disponibili o devono essere determinati online?

  • Se un sistema non può essere approssimato interamente da un modello fuzzy, può essere approssimato a tratti da un insieme di modello fuzzy?

  • Se un sistema può essere approssimato da un insieme di modelli fuzzy, questi modelli hanno lo stesso formato con parametri diversi o hanno formati diversi?

  • Se un sistema può essere approssimato da un insieme di modelli fuzzy aventi lo stesso formato, ciascuno con un diverso insieme di parametri, questi set di parametri sono facilmente disponibili o devono essere determinati online?

La rete neurale artificiale (ANN) è una rete di sistemi informatici efficienti il ​​cui tema centrale è preso in prestito dall'analogia delle reti neurali biologiche. Le ANN sono anche chiamate "sistemi neurali artificiali", sistemi di elaborazione distribuita in parallelo "," sistemi connessionisti ". ANN acquisisce un'ampia raccolta di unità che sono interconnesse in un certo schema per consentire le comunicazioni tra le unità. Queste unità, chiamate anche nodi o neuroni, sono semplici processori che operano in parallelo.

Ogni neurone è connesso con un altro neurone tramite un collegamento di connessione. Ogni link di connessione è associato a un peso contenente le informazioni sul segnale in ingresso. Questa è l'informazione più utile per i neuroni per risolvere un particolare problema perché il peso di solito inibisce il segnale che viene comunicato. Ogni neurone sta avendo il suo stato interno che viene chiamato segnale di attivazione. I segnali di uscita, che vengono prodotti dopo aver combinato i segnali di ingresso e la regola di attivazione, possono essere inviati ad altre unità. Consiste anche in un bias "b" il cui peso è sempre 1.

Perché usare Fuzzy Logic in Neural Network

Come abbiamo discusso sopra, ogni neurone in ANN è connesso con un altro neurone tramite un collegamento di connessione e quel collegamento è associato a un peso contenente le informazioni sul segnale di ingresso. Quindi possiamo dire che i pesi contengono le informazioni utili sull'input per risolvere i problemi.

Di seguito sono riportati alcuni motivi per utilizzare la logica fuzzy nelle reti neurali:

  • La logica fuzzy è ampiamente utilizzata per definire i pesi, da insiemi fuzzy, nelle reti neurali.

  • Quando non è possibile applicare valori nitidi, vengono utilizzati valori fuzzy.

  • Abbiamo già studiato che la formazione e l'apprendimento aiutano le reti neurali a funzionare meglio in situazioni impreviste. A quel tempo i valori sfocati sarebbero stati più applicabili dei valori nitidi.

  • Quando usiamo la logica fuzzy nelle reti neurali, i valori non devono essere nitidi e l'elaborazione può essere eseguita in parallelo.

Mappa cognitiva fuzzy

È una forma di sfocatura nelle reti neurali. Fondamentalmente FCM è come una macchina a stati dinamica con stati fuzzy (non solo 1 o 0).

Difficoltà nell'utilizzo della logica fuzzy nelle reti neurali

Nonostante abbia numerosi vantaggi, c'è anche qualche difficoltà nell'usare la logica fuzzy nelle reti neurali. La difficoltà è legata alle regole di appartenenza, alla necessità di costruire un sistema fuzzy, perché a volte è complicato dedurlo con il dato insieme di dati complessi.

Logica Fuzzy Neural-Trained

Anche la relazione inversa tra rete neurale e logica fuzzy, ovvero la rete neurale utilizzata per addestrare la logica fuzzy, è una buona area di studio. Di seguito sono riportati due motivi principali per creare logica fuzzy neuraltrained:

  • Nuovi modelli di dati possono essere appresi facilmente con l'aiuto di reti neurali, quindi possono essere utilizzati per preelaborare i dati in sistemi fuzzy.

  • La rete neurale, grazie alla sua capacità di apprendere nuove relazioni con i nuovi dati di input, può essere utilizzata per perfezionare le regole fuzzy per creare un sistema adattivo fuzzy.

Esempi di sistema Fuzzy Neural-Trained

I sistemi Fuzzy con addestramento neurale vengono utilizzati in molte applicazioni commerciali. Vediamo ora alcuni esempi in cui viene applicato il sistema Fuzzy Neural-Trained -

  • Il Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (LIFE) di Yokohama, in Giappone, dispone di una rete neurale di retro propagazione che deriva da regole fuzzy. Questo sistema è stato applicato con successo al sistema di scambio di valuta estera con circa 5000 regole fuzzy.

  • Ford Motor Company ha sviluppato sistemi fuzzy addestrabili per il controllo del minimo delle automobili.

  • NeuFuz, prodotto software di National Semiconductor Corporation, supporta la generazione di regole fuzzy con una rete neurale per applicazioni di controllo.

  • AEG Corporation of Germany utilizza un sistema di controllo fuzzy addestrato neurale per la sua macchina per il risparmio di acqua ed energia. Ha un totale di 157 regole fuzzy.

In questo capitolo, discuteremo i campi in cui i concetti di Fuzzy Logic sono ampiamente applicati.

Aerospaziale

In ambito aerospaziale, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Controllo dell'altitudine di veicoli spaziali
  • Controllo dell'altitudine satellitare
  • Regolazione del flusso e della miscela nei veicoli antighiaccio degli aeromobili

Settore automobilistico

Nel settore automobilistico, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Sistemi fuzzy addestrabili per il controllo del minimo
  • Metodo di programmazione dei turni per la trasmissione automatica
  • Sistemi autostradali intelligenti
  • Controllo del traffico
  • Miglioramento dell'efficienza delle trasmissioni automatiche

Attività commerciale

Negli affari, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Sistemi di supporto al processo decisionale
  • Valutazione del personale in una grande azienda

Difesa

In difesa, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Riconoscimento del bersaglio subacqueo
  • Riconoscimento automatico del target di immagini termiche a infrarossi
  • Aiuti di supporto decisionale navale
  • Controllo di un intercettore hypervelocity
  • Modello fuzzy set del processo decisionale della NATO

Elettronica

In elettronica, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Controllo dell'esposizione automatica nelle videocamere
  • Umidità in una stanza pulita
  • Sistemi di condizionamento
  • Tempi della lavatrice
  • Forni a microonde
  • Aspirapolvere

Finanza

Nel campo finanziario, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Controllo del trasferimento di banconote
  • Gestione dei fondi
  • Previsioni del mercato azionario

Settore industriale

In ambito industriale, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Il forno per cemento controlla il controllo dello scambiatore di calore
  • Controllo del processo di trattamento delle acque reflue a fanghi attivi
  • Controllo impianto depurazione acque
  • Analisi quantitativa dei pattern per la garanzia della qualità industriale
  • Controllo dei problemi di soddisfazione dei vincoli nella progettazione strutturale
  • Controllo degli impianti di depurazione delle acque

Produzione

Nell'industria manifatturiera, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Ottimizzazione della produzione di formaggio
  • Ottimizzazione della produzione di latte

Marino

In campo marino, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Pilota automatico per navi
  • Selezione ottimale del percorso
  • Controllo di veicoli subacquei autonomi
  • Governo della nave

Medico

In campo medico, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Sistema di supporto diagnostico medico
  • Controllo della pressione arteriosa durante l'anestesia
  • Controllo multivariabile dell'anestesia
  • Modellazione dei risultati neuropatologici nei pazienti di Alzheimer
  • Diagnosi radiologiche
  • Diagnosi di inferenza fuzzy del diabete e del cancro alla prostata

Titoli

Nei titoli, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Sistemi decisionali per la negoziazione di titoli
  • Vari apparecchi di sicurezza

Trasporti

Nel trasporto, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Funzionamento automatico della metropolitana
  • Controllo degli orari dei treni
  • Accelerazione ferroviaria
  • Frenata e arresto

Riconoscimento e classificazione dei modelli

In Pattern Recognition and Classification, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Riconoscimento vocale basato sulla logica fuzzy
  • Basato sulla logica fuzzy
  • Riconoscimento della grafia
  • Analisi delle caratteristiche facciali basata sulla logica fuzzy
  • Analisi dei comandi
  • Ricerca di immagini sfocate

Psicologia

In psicologia, la logica fuzzy viene utilizzata nelle seguenti aree:

  • Analisi del comportamento umano basata sulla logica fuzzy
  • Indagini penali e prevenzione basate su ragionamenti logici fuzzy