Logica fuzzy - Teoria degli insiemi
Gli insiemi fuzzy possono essere considerati un'estensione e una semplificazione grossolana degli insiemi classici. Può essere meglio compreso nel contesto dell'appartenenza a un insieme. Fondamentalmente consente l'appartenenza parziale, il che significa che contiene elementi che hanno diversi gradi di appartenenza all'insieme. Da questo possiamo capire la differenza tra l'insieme classico e l'insieme fuzzy. L'insieme classico contiene elementi che soddisfano proprietà precise di appartenenza mentre l'insieme fuzzy contiene elementi che soddisfano proprietà imprecise di appartenenza.
Concetto matematico
Un insieme fuzzy $ \ widetilde {A} $ nell'universo dell'informazione $ U $ può essere definito come un insieme di coppie ordinate e può essere rappresentato matematicamente come -
$$ \ widetilde {A} = \ sinistra \ {\ sinistra (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ sinistra (y \ destra) \ destra) | y \ in U \ right \} $$
Qui $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = grado di appartenenza a $ y $ in \ widetilde {A}, assume valori nell'intervallo da 0 a 1, cioè $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.
Rappresentazione dell'insieme fuzzy
Consideriamo ora due casi di universo dell'informazione e comprendiamo come può essere rappresentato un insieme fuzzy.
Caso 1
Quando l'universo dell'informazione $ U $ è discreto e finito -
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$
$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $
Caso 2
Quando l'universo dell'informazione $ U $ è continuo e infinito -
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$
Nella rappresentazione sopra, il simbolo di sommatoria rappresenta la raccolta di ogni elemento.
Operazioni su set fuzzy
Avendo due insiemi fuzzy $ \ widetilde {A} $ e $ \ widetilde {B} $, l'universo dell'informazione $ U $ e un elemento dell'universo, le seguenti relazioni esprimono l'operazione di unione, intersezione e complemento su insiemi fuzzy.
Unione / Fuzzy "OR"
Consideriamo la seguente rappresentazione per capire come il file Union/Fuzzy ‘OR’ relazione funziona -
$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$
Qui ∨ rappresenta l'operazione 'max'.
Intersezione / Fuzzy "AND"
Consideriamo la seguente rappresentazione per capire come il file Intersection/Fuzzy ‘AND’ relazione funziona -
$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$
Qui ∧ rappresenta l'operazione 'min'.
Complemento / Fuzzy "NON"
Consideriamo la seguente rappresentazione per capire come il file Complement/Fuzzy ‘NOT’ relazione funziona -
$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$
Proprietà degli insiemi fuzzy
Parliamo delle diverse proprietà degli insiemi fuzzy.
Proprietà commutativa
Avendo due insiemi fuzzy $ \ widetilde {A} $ e $ \ widetilde {B} $, questa proprietà afferma:
$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$
Proprietà associativa
Avendo tre insiemi fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, questa proprietà afferma:
$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$
$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$
Proprietà distributiva
Avendo tre insiemi fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, questa proprietà afferma:
$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$
Proprietà idempotenza
Per ogni insieme fuzzy $ \ widetilde {A} $, questa proprietà indica:
$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$
Proprietà identità
Per il set fuzzy $ \ widetilde {A} $ e il set universale $ U $, questa proprietà indica:
$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$
$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$
Proprietà transitiva
Avendo tre insiemi fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, questa proprietà afferma:
$$ Se \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: allora \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$
Proprietà dell'involuzione
Per ogni insieme fuzzy $ \ widetilde {A} $, questa proprietà indica:
$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$
Legge di De Morgan
Questa legge gioca un ruolo cruciale nel dimostrare tautologie e contraddizioni. Questa legge afferma:
$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$
$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$