Circuiti digitali - Moduli canonici e standard
Otterremo quattro termini di prodotto booleani combinando due variabili x e y con un'operazione logica AND. Questi termini di prodotto booleani sono chiamati comemin terms o standard product terms. I termini minimi sono x'y ', x'y, xy' e xy.
Allo stesso modo, otterremo quattro termini di somma booleani combinando due variabili xey con un'operazione OR logica. Questi termini di somma booleana sono chiamati comeMax terms o standard sum terms. I termini Max sono x + y, x + y ', x' + y e x '+ y'.
La tabella seguente mostra la rappresentazione dei termini min e MAX per 2 variabili.
| X | y | Termini minimi | Termini massimi |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
Se la variabile binaria è "0", viene rappresentata come complemento della variabile nel termine minimo e come la variabile stessa nel termine massimo. Allo stesso modo, se la variabile binaria è "1", viene rappresentata come complemento della variabile in Max term e come la variabile stessa in min term.
Dalla tabella sopra, possiamo facilmente notare che i termini minimi e quelli massimi sono complementari l'uno con l'altro. Se sono presenti "n" variabili booleane, ci saranno 2 n termini minimi e 2 n termini massimi.
Forme SoP e PoS canoniche
Una tabella di verità è costituita da un insieme di input e output. Se ci sono 'n' variabili di input, ci saranno 2 n possibili combinazioni con zero e uno. Quindi il valore di ciascuna variabile di output dipende dalla combinazione delle variabili di input. Quindi, ogni variabile di output avrà "1" per una combinazione di variabili di input e "0" per un'altra combinazione di variabili di input.
Pertanto, possiamo esprimere ciascuna variabile di output nei seguenti due modi.
- Modulo SoP canonico
- Modulo PoS canonico
Modulo SoP canonico
Il modulo SoP canonico indica il modulo Somma canonica dei prodotti. In questa forma, ogni termine di prodotto contiene tutti i letterali. Quindi, questi termini di prodotto non sono altro che i termini minimi. Quindi, il modulo SoP canonico è anche chiamato comesum of min terms modulo.
Per prima cosa, identifica i termini minimi per i quali la variabile di output è uno e quindi esegui l'OR logico di quei termini minimi per ottenere l'espressione booleana (funzione) corrispondente a quella variabile di output. Questa funzione booleana avrà la forma di somma di termini minimi.
Seguire la stessa procedura anche per altre variabili di output, se è presente più di una variabile di output.
Esempio
Considera quanto segue truth table.
| Ingressi | Produzione | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Qui, l'uscita (f) è "1" per quattro combinazioni di input. I termini min corrispondenti sono p'qr, pq'r, pqr ', pqr. Eseguendo l'OR logico di questi quattro termini min, otterremo la funzione booleana dell'output (f).
Pertanto, la funzione booleana di output è, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. Questo è ilcanonical SoP formdi uscita, f. Possiamo anche rappresentare questa funzione nelle seguenti due notazioni.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ sinistra (3,5,6,7 \ destra) $$
In un'equazione, abbiamo rappresentato la funzione come somma dei rispettivi termini minimi. In un'altra equazione, abbiamo usato il simbolo per la somma di quei termini minimi.
Modulo PoS canonico
Forma Canonical PoS significa forma Canonical Product of Sums. In questa forma, ogni termine somma contiene tutti i letterali. Quindi, questi termini di somma non sono altro che i termini Max. Quindi, il modulo PoS canonico è anche chiamato comeproduct of Max terms modulo.
Innanzitutto, identifica i termini Max per i quali la variabile di output è zero e quindi esegui l'AND logico di quei termini Max per ottenere l'espressione booleana (funzione) corrispondente a quella variabile di output. Questa funzione booleana sarà sotto forma di prodotto di termini Max.
Seguire la stessa procedura anche per altre variabili di output, se è presente più di una variabile di output.
Example
Considera la stessa tabella di verità dell'esempio precedente. Qui, l'output (f) è "0" per quattro combinazioni di input. I termini Max corrispondenti sono p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. Facendo AND logico di questi quattro termini Max, otterremo la funzione booleana dell'output (f).
Pertanto, la funzione booleana di output è f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). Questo è ilcanonical PoS formdi uscita, f. Possiamo anche rappresentare questa funzione nelle seguenti due notazioni.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ sinistra (0,1,2,4 \ destra) $$
In un'equazione, abbiamo rappresentato la funzione come prodotto dei rispettivi termini Max. In un'altra equazione, abbiamo usato il simbolo per la moltiplicazione di quei termini Max.
La funzione booleana, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r) è il duale della funzione booleana, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Pertanto, sia le forme SoP canoniche che le forme PoS canoniche lo sono Duall'un l'altro. Funzionalmente, queste due forme sono le stesse. In base al requisito, possiamo utilizzare una di queste due forme.
Moduli SoP e PoS standard
Abbiamo discusso due forme canoniche di rappresentazione degli output booleani. Allo stesso modo, esistono due forme standard per rappresentare gli output booleani. Queste sono la versione semplificata delle forme canoniche.
- Modulo SoP standard
- Modulo PoS standard
Discuteremo delle porte logiche nei capitoli successivi. Il principaleadvantagedelle forme standard è che il numero di input applicati alle porte logiche può essere ridotto al minimo. A volte, ci sarà una riduzione del numero totale di porte logiche richieste.
Modulo SoP standard
Mezzi di forma SoP standard Standard Sum of Productsmodulo. In questa forma, ogni termine di prodotto non deve contenere tutti i letterali. Quindi, i termini del prodotto possono o non possono essere i termini minimi. Pertanto, il modulo SoP standard è la forma semplificata del modulo SoP canonico.
Otterremo la forma SoP standard della variabile di output in due passaggi.
- Ottieni la forma SoP canonica della variabile di output
- Semplifica la funzione booleana sopra, che è nella forma SoP canonica.
Seguire la stessa procedura anche per altre variabili di output, se è presente più di una variabile di output. A volte, potrebbe non essere possibile semplificare il modulo SoP canonico. In tal caso, sia il modulo SoP canonico che quello standard sono gli stessi.
Example
Converti la seguente funzione booleana nel formato SoP standard.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
La funzione booleana data è nella forma SoP canonica. Ora, dobbiamo semplificare questa funzione booleana per ottenere il modulo SoP standard.
Step 1 - Usa il file Boolean postulate, x + x = x. Ciò significa che l'operazione OR logico con qualsiasi variabile booleana 'n' volte sarà uguale alla stessa variabile. Quindi, possiamo scrivere l'ultimo termine pqr altre due volte.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Usa Distributive lawper 1 ° e 4 th termini, 2 ° e 5 th termini, 3 ° e 6 th termini.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - Usa Boolean postulate, x + x '= 1 per semplificare i termini presenti in ciascuna parentesi.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - Usa Boolean postulate, x.1 = x per semplificare i tre termini sopra.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Questa è la funzione booleana semplificata. quindi, ilstandard SoP form corrispondente alla forma SoP canonica data è f = pq + qr + pr
Modulo PoS standard
Forma standard PoS significa Standard Product of Sumsmodulo. In questa forma, ogni termine di somma non deve contenere tutti i letterali. Quindi, i termini della somma possono o non possono essere i termini massimi. Pertanto, il modulo PoS standard è la forma semplificata del modulo PoS canonico.
Otterremo la forma PoS standard della variabile di output in due passaggi.
- Ottieni la forma PoS canonica della variabile di output
- Semplifica la funzione booleana sopra, che è in forma PoS canonica.
Seguire la stessa procedura anche per altre variabili di output, se è presente più di una variabile di output. A volte, potrebbe non essere possibile semplificare il modulo PoS canonico. In tal caso, sia il modulo PoS canonico che quello standard sono gli stessi.
Example
Converti la seguente funzione booleana nel formato Standard PoS.
f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q' + r). (p '+ q + r)
La funzione booleana data è in formato PoS canonico. Ora, dobbiamo semplificare questa funzione booleana per ottenere il modulo PoS standard.
Step 1 - Usa il file Boolean postulate, xx = x. Ciò significa che l'operazione AND logico con qualsiasi variabile booleana 'n' volte sarà uguale alla stessa variabile. Quindi, possiamo scrivere il primo termine p + q + r altre due volte.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r)
Step 2 - Usa Distributive law,x + (yz) = (x + y). (x + z) per 1 ° e 4 ° parentesi, 2 ° e 5 ° parentesi, 3 ° e 6 ° parentesi.
⇒ f = (p + q + rr '). (P + r + qq'). (Q + r + pp ')
Step 3 - Usa Boolean postulate, x.x '= 0 per semplificare i termini presenti in ciascuna parentesi.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0)
Step 4 - Usa Boolean postulate, x + 0 = x per semplificare i termini presenti in ciascuna parentesi
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r)
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r)
Questa è la funzione booleana semplificata. quindi, ilstandard PoS form corrispondente alla forma PoS canonica data è f = (p + q).(q + r).(p + r). Questo è ildual della funzione booleana, f = pq + qr + pr.
Pertanto, entrambi i moduli Standard SoP e Standard PoS sono doppi l'uno con l'altro.