Circuiti digitali - logica di soglia
Nei capitoli precedenti, abbiamo implementato vari circuiti combinatori utilizzando porte logiche. Ad eccezione della porta NOT, le restanti porte logiche hanno almeno due ingressi e una singola uscita. Allo stesso modo, ilthreshold gate contiene anche almeno un input e un solo output.
Inoltre, contiene i rispettivi pesi per ogni ingresso e un valore di soglia. I valori di questi pesi e soglia potrebbero essere di qualsiasi numero reale finito.
Nozioni di base sul cancello di soglia
Siano gli ingressi della soglia di gate X 1 , X 2 , X 3 ,…, X n . I pesi corrispondenti di questi ingressi sono W 1 , W 2 , W 3 ,…, W n . Ilsymbol di Threshold Gate è mostrato nella figura seguente.
Threshold gateè rappresentato con un cerchio e ha "n" ingressi, da X 1 a X n e uscita singola, Y. Questo cerchio è composto da due parti. Una parte rappresenta i pesi corrispondenti agli input e l'altra parte rappresenta il valore di soglia, T.
La somma dei prodotti di input con pesi corrispondenti è nota come weighted sum. Se questa somma ponderata è maggiore o uguale al valore di soglia, T allora solo l'uscita, Y sarà uguale a uno. Altrimenti, l'uscita, Y sarà uguale a zero.
Mathematically, possiamo scrivere questa relazione tra input e output di Threshold gate come di seguito.
$$ Y = 1, se \: \: W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} + ... W_ {n} X_ {n} \ geq T $$
= 0, altrimenti.
Pertanto, possiamo implementare varie porte logiche e funzioni booleane semplicemente modificando i valori di pesi e / o valore di soglia, T.
Esempio
Cerchiamo di trovare il file simplified Boolean function per il seguente cancello di soglia.
Questa porta di soglia ha tre ingressi X 1 , X 2 , X 3 e un'uscita Y.
I pesi corrispondenti agli ingressi X 1 , X 2 e X 3 sono rispettivamente W 1 = 2, W 2 = 1 e W 3 = -4.
Il valore di Threshold gate è T = -1.
Il weighted sum del cancello di soglia è
$$ W = W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} $$
Sostituisci i pesi dati nell'equazione precedente.
$$ \ Rightarrow W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $$
L'output di Threshold Gate, Y sarà '1' se W ≥ −1, altrimenti sarà '0'.
Il seguente table mostra la relazione tra input e output per tutte le possibili combinazioni di input.
| Ingressi | Somma ponderata | Produzione | ||
|---|---|---|---|---|
| $ X_ {1} $ | $ X_ {2} $ | $ X_ {3} $ | $ W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $ | $ Y $ |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | -4 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | -3 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 2 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | -2 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 3 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | -1 | 1 |
Dalla tabella sopra, possiamo scrivere il file Boolean function per l'uscita, Y come
$$ Y = \ sum m \ sinistra (0,2,4,6,7 \ destra) $$
La semplificazione di questa funzione booleana utilizzando 3 variable K-Map è mostrato nella figura seguente.
quindi, il simplified Boolean function per la soglia di soglia data è $ Y = {X_ {3} '} + X_ {1} X_ {2} $.
Sintesi delle funzioni di soglia
Il cancello di soglia è anche chiamato come universal gateperché possiamo implementare qualsiasi funzione booleana usando le porte di soglia. A volte, potrebbe non essere possibile implementare poche porte logiche e funzioni booleane utilizzando una singola porta di soglia. In tal caso, potremmo richiedere più porte di soglia.
Segui questi steps per l'implementazione di una funzione booleana utilizzando una singola soglia di soglia.
Step 1 - Formulare a Truth table per una data funzione booleana.
Step 2 - Nella tabella Verità sopra, aggiungi (includi) un'altra colonna, che fornisce la relazione tra weighted sums e Threshold value.
Step 3 - Scrivere la relazione tra somme ponderate e soglia per ciascuna combinazione di input come indicato di seguito.
Se l'uscita della funzione booleana è 1, la somma ponderata sarà maggiore o uguale al valore di soglia per quella combinazione di input.
Se l'output della funzione booleana è 0, la somma ponderata sarà inferiore al valore di soglia per quella combinazione di input.
Step 4 - Scegliere i valori di Pesi e Soglia in modo tale che soddisfino tutte le relazioni presenti nell'ultima colonna della tabella sopra.
step 5 - Disegna il file symbol di Threshold gate con quei pesi e il valore di Threshold.
Esempio
Cerchiamo di implementare quanto segue Boolean function utilizzando un singolo cancello di soglia.
$$ Y \ sinistra (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ destra) = \ sum m \ sinistra (0,2,4,6,7 \ destra) $$
La funzione booleana data è una funzione a tre variabili, rappresentata sotto forma di somma di termini minimi. IlTruth table di questa funzione è mostrato di seguito.
| Ingressi | Produzione | ||
|---|---|---|---|
| X1 | X2 | X3 | Y |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Ora, aggiungiamo (includiamo) un'altra colonna alla tabella della verità sopra. Quest'ultima colonna contiene le relazioni traweighted sums (W) and Threshold valore (T) per ogni combinazione di input.
| Ingressi | Produzione | Relazioni tra W & T | ||
|---|---|---|---|---|
| X1 | X2 | X3 | Y | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 ≥T |
| 0 | 0 | 1 | 0 | W 3 <T |
| 0 | 1 | 0 | 1 | W 2 ≥ T |
| 0 | 1 | 1 | 0 | W 2 + W 3 <T |
| 1 | 0 | 0 | 1 | W 1 ≥ T |
| 1 | 0 | 1 | 0 | W 1 + W 3 <T |
| 1 | 1 | 0 | 1 | W 1 + W 2 ≥ T |
| 1 | 1 | 1 | 1 | W 1 + W 2 + W 3 ≥ T |
Di seguito sono riportate le conclusioni dalla tabella sopra.
Il valore di Soglia dovrebbe essere zero o negativo in base alla prima relazione.
Il valore di W 3 dovrebbe essere negativo in base alla prima e alla seconda relazione.
I valori di W 1 e W 2 devono essere maggiori o uguali al valore di soglia basato sulla quinta e terza relazione.
W 2 dovrebbe essere maggiore di W 3 in base alla quarta relazione.
Possiamo scegliere i seguenti valori per i pesi e la soglia in base alle conclusioni di cui sopra.
W 1 = 2, W 2 = 1, W 3 = -4 e T = -1
Il symbol di Threshold gate con i valori di cui sopra è mostrato di seguito.
Pertanto, questo cancello di soglia implementa il dato Boolean function, $ Y \ sinistra (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ destra) = \ sum m \ sinistra (0,2,4,6,7 \ destra) $.