Convoluzione e correlazione

Convoluzione

La convoluzione è un'operazione matematica utilizzata per esprimere la relazione tra input e output di un sistema LTI. Mette in relazione input, output e risposta all'impulso di un sistema LTI come

$$ y (t) = x (t) * h (t) $$

Dove y (t) = output di LTI

x (t) = input di LTI

h (t) = risposta all'impulso di LTI

Esistono due tipi di convoluzioni:

  • Convoluzione continua

  • Convoluzione discreta

Convoluzione continua

$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

(o)

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $

Convoluzione discreta

$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $

(o)

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $

Utilizzando la convoluzione possiamo trovare la risposta dello stato zero del sistema.

Deconvoluzione

La deconvoluzione è un processo inverso alla convoluzione ampiamente utilizzato nell'elaborazione di segnali e immagini.

Proprietà della convoluzione

Proprietà commutativa

$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $

Proprietà distributiva

$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $

Proprietà associativa

$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $

Proprietà Shifting

$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $

$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $

Convoluzione con Impulse

$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $

$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $

Convoluzione dei passi unitari

$ u (t) * u (t) = r (t) $

$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $

$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $

Proprietà di ridimensionamento

Se $ x (t) * h (t) = y (t) $

quindi $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $

Differenziazione dell'output

se $ y (t) = x (t) * h (t) $

quindi $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $

o

$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $

Note:

  • La convoluzione di due sequenze causali è causale.

  • La convoluzione di due sequenze anti-causali è anti-causale.

  • La convoluzione di due rettangoli di lunghezza disuguale risulta un trapezio.

  • La convoluzione di due rettangoli di uguale lunghezza produce un triangolo.

  • Una funzione convoluta è essa stessa uguale all'integrazione di quella funzione.

Example: Sai che $ u (t) * u (t) = r (t) $

Secondo la nota sopra, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $

Qui, ottieni il risultato semplicemente integrando $ u (t) $.

Limiti del segnale contorto

Se due segnali sono contorti, il segnale convoluto risultante ha il seguente intervallo:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

Es: trova la gamma di convoluzione dei segnali fornita di seguito

Qui abbiamo due rettangoli di lunghezza diversa da convolgere, che risulta un trapezio.

La gamma del segnale contorto è:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

$ -1 + -2 <t <2 + 2 $

$ -3 <t <4 $

Quindi il risultato è trapezio con periodo 7.

Area del segnale contorto

L'area sotto il segnale contorto è data da $ A_y = A_x A_h $

Dove A x = area sotto il segnale di ingresso

A h = area sotto risposta all'impulso

A y = area sotto il segnale di uscita

Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

Prendi l'integrazione da entrambi i lati

$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $

$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $

Sappiamo che l'area di qualsiasi segnale è l'integrazione di quel segnale stesso.

$ \ quindi A_y = A_x \, ​​A_h $

Componente CC

La componente CC di qualsiasi segnale è data da

$ \ text {componente DC} = {\ text {area del segnale} \ over \ text {periodo del segnale}} $

Es: qual è la componente cc del segnale convoluto risultante fornito di seguito?

Qui area di x 1 (t) = lunghezza × larghezza = 1 × 3 = 3

area di x 2 (t) = lunghezza × larghezza = 1 × 4 = 4

area del segnale contorto = area di x 1 (t) × area di x 2 (t)

= 3 × 4 = 12

Durata del segnale convoluto = somma dei limiti inferiori <t <somma dei limiti superiori

= -1 + -2 <t <2 + 2

= -3 <t <4

Period=7

$ \ quindi $ Dc componente del segnale convoluto = $ \ text {area del segnale} \ su \ text {periodo del segnale} $

Componente DC = $ {12 \ over 7} $

Convoluzione discreta

Vediamo come calcolare la convoluzione discreta:

i. To calculate discrete linear convolution:

Convolgere due sequenze x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]

Uscita contorta = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]

Note: se due sequenze qualsiasi hanno rispettivamente m, n numero di campioni, la sequenza convoluta risultante avrà [m + n-1] campioni.

Example: Convolgere due sequenze x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}

Uscita contorta y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Qui x [n] contiene 3 campioni e h [n] ha anche 3 campioni, quindi la sequenza risultante ha 3 + 3-1 = 5 campioni.

ii. To calculate periodic or circular convolution:

La convoluzione periodica è valida per la trasformata di Fourier discreta. Per calcolare la convoluzione periodica tutti i campioni devono essere reali. La convoluzione periodica o circolare è anche chiamata convoluzione veloce.

Se due sequenze di lunghezza m, n rispettivamente sono convolute usando una convoluzione circolare, la sequenza risultante ha max [m, n] campioni.

Es: convoluta due sequenze x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} utilizzando la convoluzione circolare

Uscita contorta normale y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Qui x [n] contiene 3 campioni e h [n] ha anche 3 campioni. Quindi la sequenza risultante ottenuta dalla convoluzione circolare deve avere max [3,3] = 3 campioni.

Ora per ottenere il risultato della convoluzione periodica, i primi 3 campioni [poiché il periodo è 3] di convoluzione normale è lo stesso, i prossimi due campioni vengono aggiunti ai primi campioni come mostrato di seguito:

$ \ quindi $ Risultato di convoluzione circolare $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $

Correlazione

La correlazione è una misura della somiglianza tra due segnali. La formula generale per la correlazione è

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$

Esistono due tipi di correlazione:

  • Correlazione automatica

  • Correlazione Cros

Funzione di correlazione automatica

È definito come correlazione di un segnale con se stesso. La funzione di correlazione automatica è una misura della somiglianza tra un segnale e la sua versione ritardata. È rappresentato con R ($ \ tau $).

Considera un segnale x (t). La funzione di autocorrelazione di x (t) con la sua versione ritardata è data da

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$

Dove $ \ tau $ = ricerca o scansione o parametro di ritardo.

Se il segnale è complesso, la funzione di correlazione automatica è data da

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$

Proprietà della funzione di autocorrelazione del segnale energetico

  • La correlazione automatica mostra una simmetria coniugata, ovvero R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)

  • La funzione di correlazione automatica del segnale di energia all'origine cioè a $ \ tau $ = 0 è uguale all'energia totale di quel segnale, che è data come:

    R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $

  • Funzione di correlazione automatica $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • La funzione di correlazione automatica è massima a $ \ tau $ = 0 cioè | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $

  • La funzione di correlazione automatica e le densità spettrali dell'energia sono coppie di trasformata di Fourier. cioè

    $ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $

    $ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $

Funzione di correlazione automatica dei segnali di potenza

La funzione di autocorrelazione del segnale periodico di potenza con il periodo T è data da

$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$

Proprietà

  • La correlazione automatica del segnale di potenza mostra una simmetria coniugata, ad esempio $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $

  • La funzione di correlazione automatica del segnale di potenza a $ \ tau = 0 $ (all'origine) è uguale alla potenza totale di quel segnale. cioè

    $ R (0) = \ rho $

  • Funzione di correlazione automatica del segnale di alimentazione $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • La funzione di correlazione automatica del segnale di potenza è massima a $ \ tau $ = 0, ovvero

    $ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $

  • La funzione di correlazione automatica e le densità spettrali di potenza sono coppie di trasformata di Fourier. cioè

    $ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $

    $ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $

Spettro di densità

Vediamo gli spettri di densità:

Spettro di densità energetica

Lo spettro della densità energetica può essere calcolato utilizzando la formula:

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$

Spettro di densità di potenza

Lo spettro della densità di potenza può essere calcolato utilizzando la formula:

$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$

Funzione di correlazione incrociata

La correlazione incrociata è la misura della somiglianza tra due segnali diversi.

Considera due segnali x 1 (t) e x 2 (t). La correlazione incrociata di questi due segnali $ R_ {12} (\ tau) $ è data da

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$

Se i segnali sono complessi allora

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

Proprietà della funzione di correlazione incrociata dei segnali di energia e potenza

  • La correlazione automatica mostra una simmetria coniugata, ovvero $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.

  • La correlazione incrociata non è commutativa come la convoluzione, ad es

    $$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$

  • Se R 12 (0) = 0 significa, se $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, allora i due segnali sono detti ortogonali.

    Per il segnale di alimentazione se $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ allora si dice che due segnali sono ortogonali.

  • La funzione di correlazione incrociata corrisponde alla moltiplicazione degli spettri di un segnale al complesso coniugato dello spettro di un altro segnale. cioè

    $$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$

    Questo è anche chiamato teorema di correlazione.

Teorema di Parseval

Il teorema di Parseval per i segnali energetici afferma che l'energia totale in un segnale può essere ottenuta dallo spettro del segnale come

$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $

Note: Se un segnale ha energia E, la versione in scala temporale di quel segnale x (at) ha energia E / a.