Proprietà delle trasformazioni di Laplace

Le proprietà della trasformata di Laplace sono:

Proprietà di linearità

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

& $ \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s) $

Quindi la proprietà di linearità lo afferma

$ ax (t) + di (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} a X (s) + b Y (s) $

Proprietà Time Shifting

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Quindi la proprietà del time shifting lo afferma

$ x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- st_0} X (s) $

Proprietà di spostamento della frequenza

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Quindi la proprietà del cambio di frequenza lo afferma

$ e ^ {s_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s-s_0) $

Proprietà di inversione temporale

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Quindi la proprietà di inversione temporale lo afferma

$ x (-t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (-s) $

Proprietà Time Scaling

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Quindi la proprietà di scala temporale lo afferma

$ x (at) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over | a |} X ({s \ over a}) $

Proprietà di differenziazione e integrazione

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Quindi la proprietà di differenziazione lo afferma

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} s. X (s) - s. X (0) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} (s) ^ n. X (s) $

La proprietà di integrazione lo afferma

$ \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s} X (s) $

$ \ iiint \, ... \, \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s ^ n} X (s) $

Proprietà di moltiplicazione e convoluzione

Se $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

e $ y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s) $

Quindi la proprietà di moltiplicazione lo afferma

$ x (t). y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi j} X (s) * Y (s) $

La proprietà convolution lo afferma

$ x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) .Y (s) $