Serie di Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier,un matematico francese e un fisico; è nato ad Auxerre, in Francia. Ha inizializzato la serie di Fourier, le trasformate di Fourier e le loro applicazioni a problemi di trasferimento di calore e vibrazioni. La serie di Fourier, le trasformazioni di Fourier e la legge di Fourier sono chiamate in suo onore.
serie di Fourier
Per rappresentare qualsiasi segnale periodico x (t), Fourier ha sviluppato un'espressione chiamata serie di Fourier. Questo è in termini di una somma infinita di seni e coseni o esponenziali. La serie di Fourier utilizza la condizione di ortogonalità.
Rappresentazione in serie di Fourier di segnali periodici di tempo continuo
Un segnale si dice periodico se soddisfa la condizione x (t) = x (t + T) o x (n) = x (n + N).
Dove T = periodo di tempo fondamentale,
ω 0 = frequenza fondamentale = 2π / T
Esistono due segnali periodici di base:
$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (sinusoidale) &
$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (esponenziale complesso)
Questi due segnali sono periodici con periodo $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $.
Un insieme di esponenziali complessi armonicamente correlati può essere rappresentato come {$ \ phi_k (t) $}
$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {dove} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$
Tutti questi segnali sono periodici con periodo T
Secondo l'approssimazione ortogonale dello spazio dei segnali di una funzione x (t) con n, le funzioni mutuamente ortogonali sono date da
$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$
$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$
Dove $ a_k $ = coefficiente di Fourier = coefficiente di approssimazione.
Anche questo segnale x (t) è periodico con periodo T.
L'equazione 2 rappresenta la rappresentazione in serie di Fourier del segnale periodico x (t).
Il termine k = 0 è costante.
Il termine $ k = \ pm1 $ avente frequenza fondamentale $ \ omega_0 $, è chiamato come 1 a armoniche.
Il termine $ k = \ pm2 $ avente frequenza fondamentale $ 2 \ omega_0 $, viene chiamato come 2 ° armoniche, e così via ...
Il termine $ k = ± n $ avente frequenza fondamentale $ n \ omega0 $, è chiamato come armoniche n- esime .
Derivazione del coefficiente di Fourier
Sappiamo che $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $
Moltiplica $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ su entrambi i lati. Poi
$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$
Considera integrale su entrambi i lati.
$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$
dalla formula di Eulero,
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$
Quindi nell'equazione 2, l'integrale è zero per tutti i valori di k tranne che per k = n. Metti k = n nell'equazione 2.
$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$
$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
Sostituisci n con k.
$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$
$$ \ quindi x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$
$$ \ text {dove} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$