Trasformata di Hilbert

La trasformata di Hilbert di un segnale x (t) è definita come la trasformata in cui l'angolo di fase di tutte le componenti del segnale viene spostato di $ \ pm \ text {90} ^ o $.

La trasformata di Hilbert di x (t) è rappresentata con $ \ hat {x} (t) $, ed è data da

$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$

La trasformata inversa di Hilbert è data da

$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$

x (t), $ \ hat {x} $ (t) è chiamata coppia di trasformate di Hilbert.

Proprietà della trasformata di Hilbert

Un segnale x (t) e la sua trasformata di Hilbert $ \ hat {x} $ (t) hanno

• Lo stesso spettro di ampiezza.

• La stessa funzione di autocorrelazione.

• La densità spettrale dell'energia è la stessa sia per x (t) che per $ \ hat {x} $ (t).

• x (t) e $ \ hat {x} $ (t) sono ortogonali.

• La trasformata di Hilbert di $ \ hat {x} $ (t) è -x (t)

• Se esiste la trasformata di Fourier, esiste anche la trasformata di Hilbert per i segnali di energia e potenza.