Regione di Convergenza (ROC)
La variazione di intervallo di σ per cui converge la trasformata di Laplace è chiamata regione di convergenza.
Proprietà del ROC della trasformata di Laplace
ROC contiene strisce parallele all'asse jω nel piano s.
Se x (t) è assolutamente intero ed è di durata finita, allora ROC è l'intero piano s.
Se x (t) è una sequenza a destra, allora ROC: Re {s}> σ o .
Se x (t) è una sequenza a sinistra, ROC: Re {s} <σ o .
Se x (t) è una sequenza a due code, ROC è la combinazione di due regioni.
Il ROC può essere spiegato facendo uso degli esempi forniti di seguito:
Example 1: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e-^{at}u(t)$
$ LT [x (t)] = LT [e - ^ {at} u (t)] = {1 \ over S + a} $
$ Re {} \ gt -a $
$ ROC: Re {s} \ gt> -a $
Example 2: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{at}u(-t)$
$ LT [x (t)] = LT [e ^ {at} u (t)] = {1 \ over Sa} $
$ Re {s} <a $
$ ROC: Re {s} <a $
Example 3: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$
$ LT [x (t)] = LT [e ^ {- at} u (t) + e ^ {at} u (-t)] = {1 \ over S + a} + {1 \ over Sa} $
Per $ {1 \ over S + a} Re \ {s \} \ gt -a $
Per $ {1 \ over Sa} Re \ {s \} \ lt a $
Facendo riferimento al diagramma sopra, la regione di combinazione si trova da –a ad a. Quindi,
$ ROC: -a <Re {s} <a $
Causalità e stabilità
Perché un sistema sia causale, tutti i poli della sua funzione di trasferimento devono essere la metà destra del piano s.
Si dice che un sistema sia stabile quando tutti i poli della sua funzione di trasferimento si trovano sulla metà sinistra del piano s.
Si dice che un sistema sia instabile quando almeno un polo della sua funzione di trasferimento viene spostato nella metà destra del piano s.
Si dice che un sistema sia marginalmente stabile quando almeno un polo della sua funzione di trasferimento giace sull'asse jω del piano s.
ROC delle funzioni di base
f (t) | F (s) | ROC |
---|---|---|
$ u (t) $ | $$ {1 \ over s} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
$ t \, u (t) $ | $$ {1 \ over s ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
$ t ^ n \, u (t) $ | $$ {n! \ over s ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
$ e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over sa} $$ | ROC: Re {s}> a |
$ e ^ {- at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over s + a} $$ | ROC: Re {s}> -a |
$ e ^ {at} \, u (t) $ | $$ - {1 \ over sa} $$ | ROC: Re {s} <a |
$ e ^ {- at} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over s + a} $$ | ROC: Re {s} <-a |
$ t \, e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over (sa) ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> a |
$ t ^ {n} e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {n! \ over (sa) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> a |
$ t \, e ^ {- at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over (s + a) ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> -a |
$ t ^ n \, e ^ {- at} \, u (t) $ | $$ {n! \ over (s + a) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> -a |
$ t \, e ^ {at} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over (sa) ^ 2} $$ | ROC: Re {s} <a |
$ t ^ n \, e ^ {at} \, u (-t) $ | $$ - {n! \ over (sa) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s} <a |
$ t \, e ^ {- at} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over (s + a) ^ 2} $$ | ROC: Re {s} <-a |
$ t ^ n \, e ^ {- at} \, u (-t) $ | $$ - {n! \ over (s + a) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s} <-a |
$ e ^ {- at} \ cos \, bt $ | $$ {s + a \ over (s + a) ^ 2 + b ^ 2} $$ | |
$ e ^ {- at} \ sin \, bt $ | $$ {b \ over (s + a) ^ 2 + b ^ 2} $$ |