Teorema di campionamento dei segnali
Statement:Un segnale temporale continuo può essere rappresentato nei suoi campioni e può essere recuperato quando la frequenza di campionamento f s è maggiore o uguale al doppio della componente di frequenza più alta del segnale del messaggio. cioè
$$ f_s \ geq 2 f_m. $$
Proof:Considera un segnale temporale continuo x (t). Lo spettro di x (t) è una banda limitata af m Hz cioè lo spettro di x (t) è zero per | ω |> ω m .
Il campionamento del segnale di ingresso x (t) può essere ottenuto moltiplicando x (t) per un treno di impulsi δ (t) di periodo T s . L'uscita del moltiplicatore è un segnale discreto chiamato segnale campionato che è rappresentato con y (t) nei seguenti diagrammi:
Qui puoi osservare che il segnale campionato prende il periodo dell'impulso. Il processo di campionamento può essere spiegato dalla seguente espressione matematica:
$ \ text {Segnale campionato} \, y (t) = x (t). \ delta (t) \, \, ... \, ... (1) $
La rappresentazione in serie di Fourier trigonometrica di $ \ delta $ (t) è data da
$ \ delta (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos n \ omega_s t + b_n \ sin n \ omega_s t) \, \, ... \ ,. .. (2) $
Dove $ a_0 = {1 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) dt = {1 \ over T_s} \ delta (0) = {1 \ over T_s } $
$ a_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ cos n \ omega_s \, dt = {2 \ over T_2} \ delta (0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ over T} $
$ b_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ sin n \ omega_s t \, dt = {2 \ over T_s} \ delta ( 0) \ sin n \ omega_s 0 = 0 $
Sostituisci i valori precedenti nell'equazione 2.
$ \ quindi \, \ delta (t) = {1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t + 0) $
Sostituisci δ (t) nell'equazione 1.
$ \ a y (t) = x (t). \ delta (t) $
$ = x (t) [{1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t)] $
$ = {1 \ over T_s} [x (t) + 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ cos n \ omega_s t) x (t)] $
$ y (t) = {1 \ over T_s} [x (t) + 2 \ cos \ omega_s tx (t) + 2 \ cos 2 \ omega_st.x (t) + 2 \ cos 3 \ omega_s tx (t) \, ... \, ... \,] $
Prendi la trasformata di Fourier su entrambi i lati.
$ Y (\ omega) = {1 \ over T_s} [X (\ omega) + X (\ omega- \ omega_s) + X (\ omega + \ omega_s) + X (\ omega-2 \ omega_s) + X (\ omega + 2 \ omega_s) + \, ...] $
$ \ quindi \, \, Y (\ omega) = {1 \ over T_s} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) \ quad \ quad dove \, \ , n = 0, \ pm1, \ pm2, ... $
Per ricostruire x (t), è necessario recuperare lo spettro del segnale di ingresso X (ω) dallo spettro del segnale campionato Y (ω), il che è possibile quando non c'è sovrapposizione tra i cicli di Y (ω).
La possibilità di spettro di frequenze campionate con diverse condizioni è data dai seguenti diagrammi:
Effetto aliasing
La regione sovrapposta in caso di sottocampionamento rappresenta l'effetto di alias, che può essere rimosso da
considerando f s > 2f m
Utilizzando filtri anti aliasing.