Proprietà delle trasformate di Fourier

Ecco le proprietà della trasformata di Fourier:

Proprietà di linearità

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

$ \ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega) $

Quindi la proprietà di linearità lo afferma

$ ax (t) + di (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} a X (\ omega) + b Y (\ omega) $

Proprietà Time Shifting

$ \ text {If} \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Quindi la proprietà Time shifting lo afferma

$ x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- j \ omega t_0} X (\ omega) $

Proprietà di spostamento della frequenza

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Quindi la proprietà del cambio di frequenza lo afferma

$ e ^ {j \ omega_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega - \ omega_0) $

Proprietà di inversione temporale

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Quindi la proprietà di inversione del tempo lo afferma

$ x (-t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (- \ omega) $

Proprietà Time Scaling

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Quindi la proprietà Time scaling lo afferma

$ x (a) {1 \ over | \, a \, |} X {\ omega \ over a} $

Proprietà di differenziazione e integrazione

$ Se \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Quindi la proprietà Differenziazione lo afferma

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} j \ omega. X (\ omega) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} (j \ omega) ^ n. X (\ omega) $

e la proprietà di integrazione afferma che

$ \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over j \ omega} X (\ omega) $

$ \ iiint ... \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over (j \ omega) ^ n} X (\ omega) $

Proprietà di moltiplicazione e convoluzione

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

$ \ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega) $

Quindi la proprietà di moltiplicazione lo afferma

$ x (t). y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) * Y (\ omega) $

e la proprietà di convoluzione afferma che

$ x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi} X (\ omega) .Y (\ omega) $