Classificazione dei sistemi

I sistemi sono classificati nelle seguenti categorie:

  • Sistemi lineari e non lineari
  • Sistemi Time Variant e Time Invariant
  • Varianti di tempo lineare e sistemi invarianti di tempo lineare
  • Sistemi statici e dinamici
  • Sistemi causali e non causali
  • Sistemi invertibili e non invertibili
  • Sistemi stabili e instabili

Sistemi lineari e non lineari

Si dice che un sistema sia lineare quando soddisfa i principi di sovrapposizione e omogeneizzazione. Considera due sistemi con input come x 1 (t), x 2 (t) e output come y 1 (t), y 2 (t) rispettivamente. Quindi, secondo i principi di sovrapposizione e omogeneizzazione,

    T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 T [x 1 (t)] + a 2 T [x 2 (t)]

    $ \ quindi, $ T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t)

Dall'espressione sopra, è chiaro che la risposta del sistema complessivo è uguale alla risposta del sistema individuale.

Example:

    (t) = x 2 (t)

    Soluzione:

      y 1 (t) = T [x 1 (t)] = x 1 2 (t)

      y 2 (t) = T [x 2 (t)] = x 2 2 (t)

      T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] 2

Che non è uguale a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t). Quindi si dice che il sistema non è lineare.

Sistemi Time Variant e Time Invariant

Si dice che un sistema sia una variante temporale se le sue caratteristiche di input e output variano nel tempo. In caso contrario, il sistema è considerato invariante nel tempo.

La condizione per il sistema tempo invariante è:

    y (n, t) = y (nt)

La condizione per il sistema della variante temporale è:

    y (n, t) $ \ neq $ y (nt)

Dove y (n, t) = T [x (nt)] = cambio di input

    y (nt) = variazione dell'uscita

Example:

    y (n) = x (-n)

    y (n, t) = T [x (nt)] = x (-nt)

    y (nt) = x (- (nt)) = x (-n + t)

    $ \ quindi $ y (n, t) ≠ y (nt). Quindi, il sistema è una variante temporale.

Sistemi lineari Time variant (LTV) e linear Time Invariant (LTI)

Se un sistema è sia lineare che variante temporale, viene chiamato sistema lineare temporale (LTV).

Se un sistema è sia lineare che invariante nel tempo, tale sistema viene chiamato sistema lineare nel tempo invariante (LTI).

Sistemi statici e dinamici

Il sistema statico è senza memoria mentre il sistema dinamico è un sistema di memoria.

Example 1: y (t) = 2 x (t)

Per il valore attuale t = 0, l'uscita del sistema è y (0) = 2x (0). In questo caso, l'output dipende solo dall'input presente. Quindi il sistema è di memoria inferiore o statico.

Example 2: y (t) = 2 x (t) + 3 x (t-3)

Per il valore attuale t = 0, l'uscita del sistema è y (0) = 2x (0) + 3x (-3).

Qui x (-3) è il valore passato per l'input attuale per il quale il sistema richiede memoria per ottenere questo output. Quindi, il sistema è un sistema dinamico.

Sistemi causali e non causali

Si dice che un sistema sia causale se il suo output dipende da input presenti e passati e non dipende da input futuri.

Per il sistema non causale, l'output dipende anche da input futuri.

Example 1: y (n) = 2 x (t) + 3 x (t-3)

Per il valore attuale t = 1, l'uscita del sistema è y (1) = 2x (1) + 3x (-2).

Qui, l'output del sistema dipende solo dagli input presenti e passati. Quindi, il sistema è causale.

Example 2: y (n) = 2 x (t) + 3 x (t-3) + 6x (t + 3)

Per il valore attuale t = 1, l'uscita del sistema è y (1) = 2x (1) + 3x (-2) + 6x (4) Qui, l'uscita del sistema dipende dall'input futuro. Quindi il sistema è un sistema non causale.

Sistemi invertibili e non invertibili

Un sistema si dice invertibile se l'ingresso del sistema appare in uscita.

    Y (S) = X (S) H1 (S) H2 (S)

    = X (S) H1 (S) · $ 1 \ over (H1 (S)) $       Poiché H2 (S) = 1 / (H1 (S))

    $ \ quindi, $ Y (S) = X (S)

    $ \ a $ y (t) = x (t)

Quindi, il sistema è invertibile.

Se y (t) $ \ neq $ x (t), allora si dice che il sistema non è invertibile.

Sistemi stabili e instabili

Si dice che il sistema è stabile solo quando l'uscita è limitata per l'input limitato. Per un input limitato, se l'output è illimitato nel sistema, si dice che sia instabile.

Note: Per un segnale limitato, l'ampiezza è finita.

Example 1:y (t) = x 2 (t)

Lascia che l'input sia u (t) (input limitato a passi unitari), quindi l'uscita y (t) = u2 (t) = u (t) = output limitato.

Quindi, il sistema è stabile.

Example 2: y (t) = $ \ int x (t) \, dt $

Lascia che l'ingresso sia u (t) (ingresso limitato a gradino unitario) quindi l'uscita y (t) = $ \ int u (t) \, dt $ = segnale di rampa (illimitato perché l'ampiezza della rampa non è finita diventa infinito quando t $ \ a $ infinito).

Quindi, il sistema è instabile.