Serie di Fourier e trasformata

Nell'ultimo tutorial sull'analisi del dominio della frequenza, abbiamo discusso che la serie di Fourier e la trasformata di Fourier vengono utilizzate per convertire un segnale nel dominio della frequenza.

Fourier

Fourier era un matematico nel 1822. Diede la serie di Fourier e la trasformata di Fourier per convertire un segnale nel dominio della frequenza.

Serie di Fourier

La serie di Fourier afferma semplicemente che i segnali periodici possono essere rappresentati in somma di seno e coseno quando moltiplicati per un certo peso, inoltre afferma che i segnali periodici possono essere suddivisi in ulteriori segnali con le seguenti proprietà.

I segnali sono seno e coseno
I segnali sono armonici l'uno dell'altro

Può essere visto pittoricamente come

Nel segnale sopra, l'ultimo segnale è in realtà la somma di tutti i segnali sopra. Questa era l'idea del Fourier.

Come viene calcolato

Poiché, come abbiamo visto nel dominio della frequenza, per elaborare un'immagine nel dominio della frequenza, dobbiamo prima convertirla utilizzando nel dominio della frequenza e dobbiamo prendere l'inverso dell'output per riconvertirlo nel dominio spaziale. Ecco perché sia la serie di Fourier che la trasformata di Fourier hanno due formule. Uno per la conversione e uno per riconvertirlo nel dominio spaziale.

serie di Fourier

La serie di Fourier può essere denotata da questa formula.

L'inverso può essere calcolato con questa formula.

trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier afferma semplicemente che i segnali non periodici la cui area sotto la curva è finita possono essere rappresentati anche in integrali di seno e coseno dopo essere stati moltiplicati per un certo peso.

La trasformata di Fourier ha molte ampie applicazioni che includono la compressione delle immagini (ad esempio la compressione JPEG), il filtraggio e l'analisi delle immagini.

Differenza tra serie di Fourier e trasformata

Sebbene sia la serie di Fourier che la trasformata di Fourier siano date da Fourier, ma la differenza tra loro è che la serie di Fourier viene applicata ai segnali periodici e la trasformata di Fourier viene applicata ai segnali non periodici

Quale viene applicato sulle immagini

Ora la domanda è quella che si applica alle immagini, la serie di Fourier o la trasformata di Fourier. Ebbene, la risposta a questa domanda sta nel fatto che cosa sono le immagini. Le immagini non sono periodiche. E poiché le immagini non sono periodiche, viene utilizzata la trasformata di Fourier per convertirle nel dominio della frequenza.

Trasformata discreta di Fourier

Poiché abbiamo a che fare con immagini, e in effetti immagini digitali, quindi per le immagini digitali lavoreremo sulla trasformata di Fourier discreta

Considera il termine di Fourier sopra di una sinusoide. Comprende tre cose.

Frequenza spaziale
Magnitude
Phase

La frequenza spaziale è direttamente correlata alla luminosità dell'immagine. L'entità della sinusoide è direttamente correlata al contrasto. Il contrasto è la differenza tra l'intensità massima e minima dei pixel. La fase contiene le informazioni sul colore.

La formula per la trasformata di Fourier discreta bidimensionale è fornita di seguito.

La trasformata di Fourier discreta è in realtà la trasformata di Fourier campionata, quindi contiene alcuni campioni che denotano un'immagine. Nella formula precedente f (x, y) denota l'immagine e F (u, v) denota la trasformata discreta di Fourier. La formula per la trasformata di Fourier discreta inversa bidimensionale è fornita di seguito.

La trasformata di Fourier discreta inversa converte la trasformata di Fourier nell'immagine

Considera questo segnale

Ora vedremo un'immagine, di cui calcoleremo lo spettro di magnitudine FFT e quindi lo spettro di magnitudo FFT spostato e quindi prenderemo Log di quello spettro spostato.