Funzione Convessa e Concava
Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, dove S è convesso non vuoto impostato in $ \ mathbb {R} ^ n $, quindi $ f \ left (x \ right) $ si dice convesso su S se $ f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) \ leq \ lambda f \ sinistra (x_1 \ destra) + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) f \ sinistra ( x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $.
D'altra parte, Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, dove S è convesso non vuoto impostato in $ \ mathbb {R} ^ n $, quindi $ f \ left (x \ right) $ è detto essere concavo su S se $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right ) f \ sinistra (x_2 \ destra), \ forall \ lambda \ in \ sinistra (0, 1 \ destra) $.
Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ dove S è convesso non vuoto impostato in $ \ mathbb {R} ^ n $, quindi $ f \ left (x \ right) $ è detto strettamente convesso su S se $ f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) <\ lambda f \ sinistra (x_1 \ destra) + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) f \ sinistra (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ dove S è convesso non vuoto impostato in $ \ mathbb {R} ^ n $, quindi $ f \ left (x \ right) $ è detto strettamente concavo su S se $ f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra)> \ lambda f \ sinistra (x_1 \ destra) + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) f \ sinistra (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Esempi
Una funzione lineare è sia convessa che concava.
$ f \ sinistra (x \ destra) = \ sinistra | x \ right | $ è una funzione convessa.
$ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ è una funzione convessa.
Teorema
Siano $ f_1, f_2, ..., f_k: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $ funzioni convesse. Considera la funzione $ f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (x \ right) $ dove $ \ alpha_j> 0, j = 1, 2,. ..k, $ allora $ f \ left (x \ right) $ è una funzione convessa.
Prova
Poiché $ f_1, f_2, ... f_k $ sono funzioni convesse
Pertanto, $ f_i \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f_i \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_i \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ e $ i = 1, 2, ...., k $
Considera la funzione $ f \ left (x \ right) $.
Perciò,
$ f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) $
$ = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ right) x_2 \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ lambda f_j \ sinistra (x_1 \ destra) + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) f_j \ sinistra (x_2 \ destra) $
$ \ Freccia destra f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) \ leq \ lambda \ sinistra (\ Displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ sinistra ( x_1 \ right) \ right) + \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left (x_2 \ right) \ right) $
$ \ Freccia destra f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) \ leq \ lambda f \ sinistra (x_2 \ destra) \ leq \ sinistra (1- \ lambda \ destra) f \ sinistra (x_2 \ destra) $
Quindi, $ f \ left (x \ right) $ è una funzione convessa.
Teorema
Sia $ f \ left (x \ right) $ una funzione convessa su un insieme convesso $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ allora un minimo locale di $ f \ left (x \ right) $ su S è un minimi globali.
Prova
Sia $ \ hat {x} $ un minimo locale per $ f \ left (x \ right) $ e $ \ hat {x} $ non è un minimo globale.
quindi, $ \ esiste \ hat {x} \ in S $ tale che $ f \ left (\ bar {x} \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $
Poiché $ \ hat {x} $ è un minimo locale, esiste un quartiere $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) $ tale che $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $
Ma $ f \ left (x \ right) $ è una funzione convessa su S, quindi per $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
abbiamo $ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ leq \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (\ bar {x} \ right) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <\ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ destra) f \ sinistra (\ hat {x} \ destra) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <f \ left (\ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0 , 1 \ destra) $
Ma per qualche $ \ lambda <1 $ ma vicino a 1, abbiamo
$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $ e $ f \ left ( \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ right) <f \ left (\ bar {x} \ right) $
che è una contraddizione.
Quindi, $ \ bar {x} $ è un minimo globale.
Epigrafe
sia S un sottoinsieme non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $ e sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ allora l'epigrafe di f denotata da epi (f) o $ E_f $ è un sottoinsieme di $ \ mathbb {R} ^ n + 1 $ definito da $ E_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb { R}, f \ sinistra (x \ destra) \ leq \ alpha \ destra \} $
Ipografo
sia S un sottoinsieme non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, quindi l'ipografo di f denotato da hyp (f) o $ H_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R}, f \ left ( x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $
Teorema
Sia S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $, allora f è convesso se e solo se la sua epigrafe $ E_f $ è un insieme convesso.
Prova
Sia f una funzione convessa.
Mostrare $ E_f $ è un insieme convesso.
Lascia $ \ left (x_1, \ alpha_1 \ right), \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Per mostrare $ \ lambda \ left (x_1, \ alpha_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f $
$ \ Freccia destra \ sinistra [\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2, \ lambda \ alpha_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) \ alpha_2 \ destra] \ in E_f $
$ f \ sinistra (x_1 \ destra) \ leq \ alpha _1, f \ sinistra (x_2 \ destra) \ leq \ alpha _2 $
Pertanto, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ destra) $
$ \ Freccia destra f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) \ leq \ lambda \ alpha_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) \ alpha_2 $
conversare
Sia $ E_f $ un insieme convesso.
Mostrare f è convesso.
cioè, per mostrare se $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ left (0, 1 \ right) $
$ f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) \ leq \ lambda f \ sinistra (x_1 \ destra) + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) f \ sinistra (x_2 \ destra) $
Lascia $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right), f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} $
Poiché $ E_f $ è un insieme convesso, $ \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ destra) f \ sinistra (x_2 \ destra) \ in E_f $
Pertanto, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ destra) $