Funzione fortemente Quasiconvex
Siano $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ e S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $ allora f è una funzione fortemente quasiconvex se per qualsiasi $ x_1, x_2 \ in S $ con $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $, abbiamo $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ sinistra \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \}, \ forall \ lambda \ in \ sinistra (0,1 \ destra) $
Teorema
Una funzione quasiconvessa $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ su un insieme convesso non vuoto S in $ \ mathbb {R} ^ n $ è fortemente funzione quasiconvessa se non è costante su un segmento di linea che unisce qualsiasi punti di S.
Prova
Sia f una funzione quasiconvessa e non è costante su un segmento di retta che unisce punti di S.
Supponiamo che f non sia una funzione fortemente quasiconvessa.
Esistono $ x_1, x_2 \ in S $ con $ x_1 \ neq x_2 $ tali che
$$ f \ sinistra (z \ destra) \ geq max \ sinistra \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ sinistra (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$
$ \ Freccia destra f \ sinistra (x_1 \ destra) \ leq f \ sinistra (z \ destra) $ e $ f \ sinistra (x_2 \ destra) \ leq f \ sinistra (z \ destra) $
Poiché f non è costante in $ \ left [x_1, z \ right] $ e $ \ left [z, x_2 \ right] $
Quindi esiste $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ e $ v = \ left [z, x_2 \ right] $
$$ \ Freccia destra u = \ mu_1x_1 + \ sinistra (1- \ mu_1 \ destra) z, v = \ mu_2z + \ sinistra (1- \ mu_2 \ destra) x_2 $$
Poiché f è quasiconvesso,
$$ \ Freccia destra f \ sinistra (u \ destra) \ leq max \ sinistra \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (z \ destra) \ destra \} = f \ sinistra (z \ destra) \ : \: e \: \: f \ sinistra (v \ destra) \ leq max \ sinistra \ {f \ sinistra (z \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \} $$
$$ \ Freccia destra f \ sinistra (u \ destra) \ leq f \ sinistra (z \ destra) \: \: e \: \: f \ sinistra (v \ destra) \ leq f \ sinistra (z \ destra) $ $
$$ \ Freccia destra max \ sinistra \ {f \ sinistra (u \ destra), f \ sinistra (v \ destra) \ destra \} \ leq f \ sinistra (z \ destra) $$
Ma z è qualsiasi punto tra ue v, se qualcuno di essi è uguale, allora f è costante.
Pertanto, $ max \ sinistra \ {f \ sinistra (u \ destra), f \ sinistra (v \ destra) \ destra \} \ leq f \ sinistra (z \ destra) $
che contraddice la quasiconvessità di f come $ z \ in \ sinistra [u, v \ destra] $.
Quindi f è una funzione fortemente quasiconvessa.
Teorema
Siano $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ e S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $. Se $ \ hat {x} $ è una soluzione ottima locale, allora $ \ hat {x} $ è una soluzione ottimale globale unica.
Prova
Poiché una forte funzione quasiconvessa è anche strettamente una funzione quasiconvessa, una soluzione ottimale locale è una soluzione ottimale globale.
Uniqueness - Sia f per ottenere la soluzione ottimale globale in due punti $ u, v \ in S $
$$ \ Freccia destra f \ sinistra (u \ destra) \ leq f \ sinistra (x \ destra). \ Forall x \ in S \: \: e \: \: f \ sinistra (v \ destra) \ leq f \ sinistra (x \ destra). \ forall x \ in S $$
Se u è una soluzione ottimale globale, $ f \ sinistra (u \ destra) \ leq f \ sinistra (v \ destra) $ e $ f \ sinistra (v \ destra) \ leq f \ sinistra (u \ destra) \ Freccia destra f \ sinistra (u \ destra) = f \ sinistra (v \ destra) $
$$ f \ sinistra (\ lambda u + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) v \ destra) <max \ sinistra \ {f \ sinistra (u \ destra), f \ sinistra (v \ destra) \ destra \} = f \ sinistra (u \ destra) $$
che è una contraddizione.
Quindi esiste solo una soluzione ottimale globale.
Osservazioni
- Una funzione fortemente quasiconvessa è anche strettamente quasiconvessa.
- Una funzione strettamente convessa può o non può essere fortemente quasiconvessa.
- Un differenziabile strettamente convesso è fortemente quasiconvesso.