Funzioni Quasiconvex e Quasiconcave

Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ dove $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ è un insieme convesso non vuoto. La funzione f si dice quasiconvex se per ogni $ x_1, x_2 \ in S $, abbiamo $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \}, \ lambda \ in \ sinistra (0, 1 \ destra) $

Ad esempio, $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

Sia $ f: S \ rightarrow R $ dove $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ è un insieme convesso non vuoto. La funzione f si dice quasiconvex se per ogni $ x_1, x_2 \ in S $, abbiamo $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \}, \ lambda \ in \ sinistra (0, 1 \ destra) $

Osservazioni

• Ogni funzione convessa è quasiconvessa ma non è vero il contrario.
• Una funzione che è sia quasiconvessa che quasiconcava è chiamata quasimonotone.

Teorema

Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ e S sia un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $. La funzione f è quasiconvessa se e solo se $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ è convessa per ogni numero reale \ alpha $

Prova

Sia f quasiconvex su S.

Siano $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $ quindi $ x_1, x_2 \ in S $ e $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Lascia $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ e $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \} \ Freccia destra x \ in S $

Quindi, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Pertanto, $ S _ {\ alpha} $ è convesso.

conversare

Sia $ S _ {\ alpha} $ convesso per ogni $ \ alpha $

$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ sinistra (0,1 \ destra) $

$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Sia $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Per $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ sinistra \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S _ {\ alpha} $

$ \ Freccia destra f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) \ leq \ alpha $

Quindi dimostrato.

Teorema

Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ e S sia un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $. La funzione f è quasiconcava se e solo se $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ è convesso per ogni numero reale $ \ alpha $.

Teorema

Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ e S sia un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $. La funzione f è quasimonotone se e solo se $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ è convesso per ogni numero reale $ \ alpha $.