Ottimizzazione convessa: minimi e massimi

Minima locale o Riduci a icona

$ \ bar {x} \ in \: S $ si dice che sono i minimi locali di una funzione $ f $ se $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ dove $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ significa quartiere di $ \ bar {x} $, cioè $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ significa $ \ left \ | x- \ bar {x} \ right \ | <\ varepsilon $

Maxima locale o Maximizer

$ \ bar {x} \ in \: S $ si dice che sia il massimo locale di una funzione $ f $ se $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ geq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ dove $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ significa quartiere di $ \ bar {x} $, cioè $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ significa $ \ left \ | x- \ bar {x} \ right \ | <\ varepsilon $

Minimi globali

$ \ bar {x} \ in \: S $ si dice che siano i minimi globali di una funzione $ f $ se $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in S $

Massimi globali

$ \ bar {x} \ in \: S $ si dice che sia il massimo globale di una funzione $ f $ se $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ geq f \ left (x \ right), \ forall x \ in S $

Esempi

Step 1- trova i minimi e i massimi locali di $ f \ left (\ bar {x} \ right) = \ left | x ^ 2-4 \ destra | $

Solution -

Dal grafico della funzione sopra, è chiaro che i minimi locali si verificano a $ x = \ pm 2 $ e i massimi locali a $ x = 0 $

Step 2- trova i minimi globali della funzione $ f \ left (x \ right) = \ left | 4x ^ 3-3x ^ 2 + 7 \ destra | $

Solution -

Dal grafico della funzione sopra, è chiaro che i minimi globali si verificano a $ x = -1 $.