Ottimizzazione convessa - Direzione
Sia S un insieme convesso chiuso in $ \ mathbb {R} ^ n $. Un vettore diverso da zero $ d \ in \ mathbb {R} ^ n $ è chiamato direzione di S se per ogni $ x \ in S, x + \ lambda d \ in S, \ forall \ lambda \ geq 0. $
Due direzioni $ d_1 $ e $ d_2 $ di S sono chiamate distinte se $ d \ neq \ alpha d_2 $ per $ \ alpha> 0 $.
Una direzione $ d $ di $ S $ è detta direzione estrema se non può essere scritta come una combinazione lineare positiva di due direzioni distinte, ovvero, se $ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $ per $ \ lambda _1, \ lambda _2> 0 $, quindi $ d_1 = \ alpha d_2 $ per qualche $ \ alpha $.
Qualsiasi altra direzione può essere espressa come una combinazione positiva di direzioni estreme.
Per un insieme convesso $ S $, viene chiamata la direzione d tale che $ x + \ lambda d \ in S $ per qualche $ x \ in S $ e tutti i $ \ lambda \ geq0 $ recessive per $ S $.
Sia E l'insieme dei punti in cui una certa funzione $ f: S \ rightarrow $ su un insieme convesso non vuoto S in $ \ mathbb {R} ^ n $ raggiunge il suo massimo, quindi $ E $ è chiamata faccia esposta di $ S $. Le direzioni delle facce esposte sono chiamate direzioni esposte.
Un raggio la cui direzione è una direzione estrema è chiamato raggio estremo.
Esempio
Considera la funzione $ f \ left (x \ right) = y = \ left | x \ right | $, dove $ x \ in \ mathbb {R} ^ n $. Sia d il vettore unitario in $ \ mathbb {R} ^ n $
Quindi, d è la direzione per la funzione f perché per ogni $ \ lambda \ geq 0, x + \ lambda d \ in f \ left (x \ right) $.