Teorema di carateodoria

Sia S un insieme arbitrario in $ \ mathbb {R} ^ n $. Se $ x \ in Co \ left (S \ right) $, allora $ x \ in Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ right) $.

Prova

Poiché $ x \ in Co \ left (S \ right) $, allora $ x $ è rappresentato da una combinazione convessa di un numero finito di punti in S, cioè,

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ e $ x_j \ in S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

Se $ k \ leq n + 1 $, il risultato ottenuto è ovviamente vero.

Se $ k \ geq n + 1 $, allora $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $ dipendono linearmente .

$ \ Rightarrow \ esiste \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (non tutto zero) in modo tale che $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ sinistra (x_j-x_1 \ destra) = 0 $

Definisci $ \ mu_1 = - \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j $, quindi $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \ limiti_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

dove non tutti i $ \ mu_j $ sono uguali a zero. Poiché $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $, almeno uno dei $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $

Quindi, $ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $

Scegli $ \ alpha $ in modo tale che $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ per qualche $ i = 1,2, ..., k $

Se $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

Se $ \ mu_j> 0, allora \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

In particolare, $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $, per definizione di $ \ alpha $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $, dove

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ e $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) = 1 $ e $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

Pertanto, x può essere rappresentato come una combinazione convessa di al massimo (k-1) punti.

Questo processo di riduzione può essere ripetuto fino a quando x non viene rappresentato come una combinazione convessa di (n + 1) elementi.