Ottimizzazione convessa - Set affine
Un insieme $ A $ si dice che sia un insieme affine se per due punti distinti qualsiasi, la linea che passa per questi punti giace nell'insieme $ A $.
Note -
$ S $ è un insieme affine se e solo se contiene ogni combinazione affine dei suoi punti.
Gli insiemi vuoti e singleton sono sia affini che convessi.
Ad esempio, la soluzione di un'equazione lineare è un insieme affine.
Prova
Sia S la soluzione di un'equazione lineare.
Per definizione, $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \} $
Siano $ x_1, x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $ e $ Ax_2 = b $
Per provare: $ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right) $
$ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ right ) b = b $
Quindi S è un insieme affine.
Teorema
Se $ C $ è un insieme affine e $ x_0 \ in C $, allora l'insieme $ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ in C \ right \} $ è un sottospazio di C.
Prova
Siano $ x_1, x_2 \ in V $
Per mostrare: $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $ per $ \ alpha, \ beta $
Ora, $ x_1 + x_0 \ in C $ e $ x_2 + x_0 \ in C $ per definizione di V
Ora $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 $
Ma $ \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \ in C $ perché C è un insieme affine .
Pertanto, $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $
Quindi dimostrato.