Funzione pseudoconvessa

Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una funzione differenziabile e S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $, allora f si dice pseudoconvesso se per ogni $ x_1, x_2 \ in S $ con $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, abbiamo $ f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ right) $, o equivalentemente se $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ allora $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $

Funzione pseudoconcava

Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una funzione differenziabile e S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $, allora f si dice pseudoconvesso se per ogni $ x_1, x_2 \ in S $ con $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, abbiamo $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ right) $, o equivalentemente se $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ allora $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right )> 0 $

Osservazioni

  • Se una funzione è sia pseudoconvessa che pseudoconcava, allora è chiamata pseudolineare.

  • Una funzione convessa differenziabili è anche pseudoconvessa.

  • Una funzione pseudoconvessa potrebbe non essere convessa. Per esempio,

    $ f \ sinistra (x \ destra) = x + x ^ 3 $ non è convesso. Se $ x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $

    Quindi, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $

    Inoltre, $ f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ right) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ destra) \ geq 0 $

    $ \ Freccia destra f \ sinistra (x_2 \ destra) \ geq f \ sinistra (x_1 \ destra) $

    Quindi, è pseudoconvesso.

    Una funzione pseudoconvessa è strettamente quasiconvessa. Pertanto, ogni minimo locale di pseudoconvesso è anche minimo globale.

Funzione rigorosamente pseudoconvessa

Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una funzione differenziabile e S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $, allora f si dice pseudoconvesso se per ogni $ x_1, x_2 \ in S $ con $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, abbiamo $ f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1 \ right) $, o equivalentemente se $ f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right) $ allora $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $

Teorema

Sia f una funzione pseudoconvessa e supponiamo che $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $ per qualche $ \ hat {x} \ in S $, allora $ \ hat {x} $ è ottimale globale soluzione di f su S.

Prova

Sia $ \ hat {x} $ un punto critico di f, cioè $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

Poiché f è una funzione pseudoconvessa, per $ x \ in S, $ abbiamo

$$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in S $$

Quindi, $ \ hat {x} $ è la soluzione ottimale globale.

Nota

Se f è una funzione strettamente pseudoconvessa, $ \ hat {x} $ è una soluzione ottimale globale unica.

Teorema

Se f è una funzione pseudoconvessa differenziabile su S, allora f è sia strettamente quasiconvessa che quasiconvessa.

Osservazioni

  • La somma di due funzioni pseudoconvesse definite su un insieme aperto S di $ \ mathbb {R} ^ n $ potrebbe non essere pseudoconvessa.

  • Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una funzione quasiconvex e S un sottoinsieme convesso non vuoto di $ \ mathbb {R} ^ n $ allora f è pseudoconvesso se e solo se ogni punto critico è un globale minimi di f su S.

  • Sia S un sottoinsieme convesso non vuoto di $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una funzione tale che $ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq 0 $ per ogni $ x \ in S $ allora f è pseudoconvesso se e solo se è una funzione quasiconvessa.