Ottimizzazione convessa - Teorema di Weierstrass

Sia S un insieme non vuoto, chiuso e limitato (chiamato anche insieme compatto) in $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ sia una funzione continua su S, quindi problema min $ \ sinistra \ {f \ sinistra (x \ destra): x \ in S \ destra \} $ raggiunge il suo minimo.

Prova

Poiché S è non vuoto e limitato, esiste un limite inferiore.

$ \ alpha = Inf \ sinistra \ {f \ sinistra (x \ destra): x \ in S \ destra \} $

Ora lascia $ S_j = \ left \ {x \ in S: \ alpha \ leq f \ left (x \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2, ... $ e $ \ delta \ in \ sinistra (0,1 \ destra) $

Secondo la definizione di infimium, $ S_j $ non è vuoto, per ogni $ j $.

Scegli un po 'di $ x_j \ in S_j $ per ottenere una sequenza $ \ left \ {x_j \ right \} $ per $ j = 1,2, ... $

Poiché S è limitato, anche la sequenza è limitata e c'è una sottosequenza convergente $ \ left \ {y_j \ right \} $, che converge a $ \ hat {x} $. Quindi $ \ hat {x} $ è un punto limite e S è chiuso, quindi $ \ hat {x} \ in S $. Poiché f è continuo, $ f \ left (y_i \ right) \ rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) $.

Dato che $ \ alpha \ leq f \ left (y_i \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ k, \ alpha = \ Displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ left (y_i \ right) = f \ left ( \ hat {x} \ right) $

Quindi, $ \ hat {x} $ è la soluzione minimizzante.

Osservazioni

Ci sono due importanti condizioni necessarie affinché il teorema di Weierstrass valga. Questi sono i seguenti:

  • Step 1 - L'insieme S dovrebbe essere un insieme limitato.

    Considera la funzione f \ left (x \ right) = x $.

    È un insieme illimitato e ha un minimo in qualsiasi punto del suo dominio.

    Quindi, per ottenere i minimi, S dovrebbe essere limitato.

  • Step 2 - Il set S deve essere chiuso.

    Considera la funzione $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ nel dominio \ left (0,1 \ right).

    Questa funzione non è chiusa nel dominio dato e anche i suoi minimi non esistono.

    Quindi, per ottenere i minimi, S dovrebbe essere chiuso.