Funzione Quasiconvex differenziabili

Teorema

Sia S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ sia differenziabile su S, allora f è quasiconvex se e solo se per ogni $ x_1, x_2 \ in S $ e $ f \ sinistra (x_1 \ destra) \ leq f \ sinistra (x_2 \ destra) $, abbiamo $ \ bigtriangledown f \ sinistra (x_2 \ destra) ^ T \ sinistra (x_2-x_1 \ destra) \ leq 0 $

Prova

Sia f una funzione quasiconvessa.

Siano $ x_1, x_2 \ in S $ tali che $ f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $

Per differenziabilità di f a $ x_2, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

$ f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) = f \ sinistra (x_2 + \ lambda \ sinistra (x_1-x_2 \ destra) \ destra) = f \ sinistra (x_2 \ destra ) + \ bigtriangledown f \ sinistra (x_2 \ destra) ^ T \ sinistra (x_1-x_2 \ destra) $

$ + \ lambda \ sinistra \ | x_1-x_2 \ destra \ | \ alpha \ sinistra (x_2, \ lambda \ sinistra (x_1-x_2 \ destra) \ destra) $

$ \ Freccia destra f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra) -f \ sinistra (x_2 \ destra) -f \ sinistra (x_2 \ destra) = \ bigtriangledown f \ sinistra (x_2 \ destra) ^ T \ sinistra (x_1-x_2 \ destra) $

$ + \ lambda \ sinistra \ | x_1-x_2 \ destra \ | \ alpha \ sinistra (x2, \ lambda \ sinistra (x_1-x_2 \ destra) \ destra) $

Ma poiché f è quasiconvex, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $

$ \ bigtriangledown f \ sinistra (x_2 \ destra) ^ T \ sinistra (x_1-x_2 \ destra) + \ lambda \ sinistra \ | x_1-x_2 \ destra \ | \ alpha \ sinistra (x_2, \ lambda \ sinistra (x_1, x_2 \ destra) \ destra) \ leq 0 $

Ma $ \ alpha \ left (x_2, \ lambda \ left (x_1, x_2 \ right) \ right) \ rightarrow 0 $ come $ \ lambda \ rightarrow 0 $

Pertanto, $ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) \ leq 0 $

conversare

lascia per $ x_1, x_2 \ in S $ e $ f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $, $ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ right) ^ T \ left (x_1, x_2 \ destra) \ leq 0 $

Per mostrare che f è quasiconvex, cioè $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $

Proof by contradiction

Supponiamo che esista un $ x_3 = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ tale che $ f \ left (x_2 \ right) <f \ left (x_3 \ right) $ per qualche $ \ lambda \ in \ sinistra (0, 1 \ destra) $

Per $ x_2 $ e $ x_3, \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_2-x_3 \ right) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow - \ lambda \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_2-x_3 \ right) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) \ geq 0 $

Per $ x_1 $ e $ x_3, \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_1-x_3 \ right) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow \ left (1- \ lambda \ right) \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) \ leq 0 $

quindi, dalle equazioni precedenti, $ \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) = 0 $

Definisci $ U = \ left \ {x: f \ left (x \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right), x = \ mu x_2 + \ left (1- \ mu \ right) x_3, \ mu \ in \ sinistra (0,1 \ destra) \ destra \} $

Quindi possiamo trovare $ x_0 \ in U $ tale che $ x_0 = \ mu_0 x_2 = \ mu x_2 + \ left (1- \ mu \ right) x_3 $ per qualche $ \ mu _0 \ in \ left (0,1 \ right ) $ che è il più vicino a $ x_3 $ e $ \ hat {x} \ in \ left (x_0, x_1 \ right) $ tale che per teorema del valore medio,

$$ \ frac {f \ left (x_3 \ right) -f \ left (x_0 \ right)} {x_3-x_0} = \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) $$

$$ \ Rightarrow f \ left (x_3 \ right) = f \ sinistra (x_0 \ right) + \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) ^ T \ left (x_3-x_0 \ right) $$

$$ \ Freccia destra f \ sinistra (x_3 \ destra) = f \ sinistra (x_0 \ destra) + \ mu_0 \ lambda f \ sinistra (\ hat {x} \ destra) ^ T \ sinistra (x_1-x_2 \ destra) $ $

Poiché $ x_0 $ è una combinazione di $ x_1 $ e $ x_2 $ e $ f \ left (x_2 \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $

Ripetendo la procedura di avvio, $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) = 0 $

Quindi, combinando le equazioni di cui sopra, otteniamo:

$$ f \ sinistra (x_3 \ destra) = f \ sinistra (x_0 \ destra) \ leq f \ sinistra (x_2 \ destra) $$

$$ \ Freccia destra f \ sinistra (x_3 \ destra) \ leq f \ sinistra (x_2 \ destra) $$

Quindi, è una contraddizione.

Esempi

Step 1 - $ f \ sinistra (x \ destra) = X ^ 3 $

$ Sia f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $

$ \ Rightarrow x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} \ Rightarrow x_1 \ leq x_2 $

$ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ right) \ left (x_1-x_2 \ right) = 3x_ {2} ^ {2} \ left (x_1-x_2 \ right) \ leq 0 $

Quindi, $ f \ left (x \ right) $ è quasiconvex.

Step 2 - $ f \ sinistra (x \ destra) = x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} $

Siano $ \ hat {x_1} = \ left (2, -2 \ right) $ e $ \ hat {x_2} = \ left (1, 0 \ right) $

quindi $ f \ left (\ hat {x_1} \ right) = 0, f \ left (\ hat {x_2} \ right) = 1 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x_1} \ right) \ setminus <f \ left (\ hat {x_2} \ right) $

Quindi, $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x_2} \ right) ^ T \ left (\ hat {x_1} - \ hat {x_2} \ right) = \ left (3, 0 \ right) ^ T \ left (1, -2 \ destra) = 3> 0 $

Quindi $ f \ left (x \ right) $ non è quasiconvex.