Funzione rigorosamente Quasiconvex

Siano $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ e S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $ allora f si dice che sia strettamente una funzione quasicovessa se per ogni $ x_1, x_2 \ in S $ con $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, abbiamo $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ sinistra \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \} $

Osservazioni

• Ogni funzione strettamente quasiconvessa è strettamente convessa.
• La funzione rigorosamente quasiconvessa non implica la quasiconvessità.
• La funzione strettamente quasiconvessa potrebbe non essere fortemente quasiconvessa.
• La funzione pseudoconvessa è una funzione strettamente quasiconvessa.

Teorema

Sia $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ una funzione strettamente quasiconvessa e S sia un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $. Considera il problema: $ min \: f \ left (x \ destra), x \ in S $. Se $ \ hat {x} $ è la soluzione ottimale locale, allora $ \ bar {x} $ è la soluzione ottimale globale.

Prova

Lascia che esista $ \ bar {x} \ in S $ tale che $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $

Poiché $ \ bar {x}, \ hat {x} \ in S $ e S è un insieme convesso, quindi,

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

Poiché $ \ hat {x} $ è il minimo locale, $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ cappello {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

Poiché f è strettamente quasiconvessa.

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ sinistra (\ bar {x} \ destra) \ destra \} = f \ sinistra (\ hat {x} \ destra) $$

Quindi, è una contraddizione.

Funzione rigorosamente quasiconcava

Siano $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ e S un insieme convesso non vuoto in $ \ mathbb {R} ^ n $, allora f è saud essere strettamente una funzione quasicovex se per ogni $ x_1, x_2 \ in S $ con $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, abbiamo

$$ f \ sinistra (\ lambda x_1 + \ sinistra (1- \ lambda \ destra) x_2 \ destra)> min \ sinistra \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \} $$.

Esempi

• $ f \ sinistra (x \ destra) = x ^ 2-2 $

  È una funzione strettamente quasiconvex perché se prendiamo due punti qualsiasi $ x_1, x_2 $ nel dominio che soddisfano i vincoli nella definizione $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ Poiché la funzione diminuisce nell'asse x negativo e aumenta nell'asse x positivo ( poiché è una parabola).

• $ f \ sinistra (x \ destra) = - x ^ 2 $

  Non è una funzione strettamente quasiconvex perché se prendiamo $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = -1 $ e $ \ lambda = 0,5 $, allora $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right) $ ma $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0 $ Pertanto non soddisfa le condizioni indicate nella definizione. Ma è una funzione quasiconcava perché se prendiamo due punti qualsiasi nel dominio che soddisfano i vincoli nella definizione $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ sinistra (x_1 \ destra), f \ sinistra (x_2 \ destra) \ destra \} $. Poiché la funzione aumenta nell'asse x negativo e diminuisce nell'asse x positivo.