Ottimizzazione convessa - Coni

Un insieme non vuoto C in $ \ mathbb {R} ^ n $ si dice cono con vertice 0 se $ x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $.

Un insieme C è un cono convesso se convesso così come cono.

Ad esempio, $ y = \ left | x \ right | $ non è un cono convesso perché non è convesso.

Ma $ y \ geq \ left | x \ right | $ è un cono convesso perché è convesso oltre che cono.

Note - Un cono C è convesso se e solo se per ogni $ x, y \ in C, x + y \ in C $.

Prova

Poiché C è cono, per $ x, y \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $ e $ \ mu y \ in C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $

C è convesso se $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Poiché C è cono, $ \ lambda x \ in C $ e $ \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \ Leftrightarrow x, y \ in C $

Quindi C è convesso se $ x + y \ in C $

In generale, se $ x_1, x_2 \ in C $, allora, $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $

Esempi

• La combinazione conica di un insieme infinito di vettori in $ \ mathbb {R} ^ n $ è un cono convesso.

• Ogni insieme vuoto è un cono convesso.

• Qualsiasi funzione lineare è un cono convesso.

• Poiché un iperpiano è lineare, è anche un cono convesso.

• Anche i semispazi chiusi sono coni convessi.

Note - L'intersezione di due coni convessi è un cono convesso ma la loro unione può essere o meno un cono convesso.