Punto estremo di un insieme convesso

Sia S un insieme convesso in $ \ mathbb {R} ^ n $. Un vettore $ x \ in S $ si dice che sia un punto estremo di S se $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ con $ x_1, x_2 \ in S $ e $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) \ Rightarrow x = x_1 = x_2 $.

Esempio

Step 1 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ right \ } $

Punto estremo, $ E = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \} $

Step 2 - $ S = \ sinistra \ {\ sinistra (x_1, x_2 \ destra) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_1 + x_2 <2, -x_1 + 2x_2 \ leq 2, x_1, x_2 \ geq 0 \ destra \ } $

Punto estremo, $ E = \ left \ {\ left (0, 0 \ right), \ left (2, 0 \ right), \ left (0, 1 \ right), \ left (\ frac {2} {3 }, \ frac {4} {3} \ right) \ right \} $

Step 3 - S è il politopo formato dai punti $ \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2, 4 \ destra), \ sinistra (0,2 \ destra) \ destra \} $

Punto estremo, $ E = \ sinistra \ {\ sinistra (0,0 \ destra), \ sinistra (1,1 \ destra), \ sinistra (1,3 \ destra), \ sinistra (-2,4 \ destra) \ right \} $

Osservazioni

  • Qualsiasi punto dell'insieme convesso S può essere rappresentato come una combinazione convessa dei suoi punti estremi.

  • È vero solo per insiemi chiusi e limitati in $ \ mathbb {R} ^ n $.

  • Potrebbe non essere vero per i set illimitati.

k punti estremi

Un punto in un insieme convesso è chiamato estremo k se e solo se è il punto interno di un insieme convesso k-dimensionale entro S, e non è un punto interno di un insieme convesso (k + 1) - dimensionale all'interno di S. Fondamentalmente, per un insieme convesso S, k punti estremi creano k facce aperte.