Condizioni necessarie per l'ottimalità di Karush-Kuhn-Tucker

Considera il problema -

$ min \: f \ left (x \ right) $ tale che $ x \ in X $, dove X è un insieme aperto in $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, i = 1, 2, ..., m $

Lascia $ S = \ left \ {x \ in X: g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i \ right \} $

Sia $ \ hat {x} \ in S $ e $ f $ e $ g_i, i \ in I $ sono differenziabili in $ \ hat {x} $ e $ g_i, i \ in J $ sono continui in $ \ hat {x} $. Inoltre, $ \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right), i \ in I $ sono linearmente indipendenti. Se $ \ hat {x} $ risolve localmente il problema precedente, allora esiste $ u_i, i \ in I $ tale che

$ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $, $ \: \: u_i \ geq 0, i \ in I $

Se $ g_i, i \ in J $ sono anche differenziabili in $ \ hat {x} $. quindi $ \ hat {x} $, quindi

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, \ forall i = 1,2, ..., m $

$ u_i \ geq 0 \ forall i = 1,2, ..., m $

Esempio

Considera il seguente problema:

$ min \: f \ sinistra (x_1, x_2 \ destra) = \ sinistra (x_1-3 \ destra) ^ 2 + \ sinistra (x_2-2 \ destra) ^ 2 $

tale che $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5 $,

$ x_1,2x_2 \ geq 0 $ e $ \ hat {x} = \ left (2,1 \ right) $

Lascia $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5 $,

$ g_2 \ sinistra (x_1, x_2 \ destra) = x_ {1} + 2x_2-4 $

$ g_3 \ sinistra (x_1, x_2 \ destra) = - x_ {1} $ e $ g_4 \ sinistra (x_1, x_2 \ destra) = - x_2 $

Pertanto i vincoli di cui sopra possono essere scritti come:

$ g_1 \ sinistra (x_1, x_2 \ destra) \ leq 0, g_2 \ sinistra (x_1, x_2 \ destra) \ leq 0 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $ e $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Quindi, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ quindi , $ u_3 = 0, \: \: u_4 = 0 $

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right) ) $ e

$ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

Mettendo quindi questi valori nella prima condizione delle condizioni di Karush-Kuhn-Tucker, otteniamo:

$ u_1 = \ frac {1} {3} $ e $ u_2 = \ frac {2} {3} $

Così le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker sono soddisfatte.