Sistemi di controllo - Algebra del diagramma a blocchi
L'algebra del diagramma a blocchi non è altro che l'algebra coinvolta con gli elementi di base del diagramma a blocchi. Questa algebra si occupa della rappresentazione pittorica delle equazioni algebriche.
Connessioni di base per blocchi
Esistono tre tipi fondamentali di connessioni tra due blocchi.
Collegamento in serie
Viene anche chiamata connessione in serie cascade connection. Nella figura seguente, due blocchi con funzioni di trasferimento $ G_1 (s) $ e $ G_2 (s) $ sono collegati in serie.
Per questa combinazione, otterremo l'output $ Y (s) $ as
$$ Y (s) = G_2 (s) Z (s) $$
Dove $ Z (s) = G_1 (s) X (s) $
$$ \ Rightarrow Y (s) = G_2 (s) [G_1 (s) X (s)] = G_1 (s) G_2 (s) X (s) $$
$$ \ Rightarrow Y (s) = \ lbrace G_1 (s) G_2 (s) \ rbrace X (s) $$
Confronta questa equazione con la forma standard dell'equazione di output, $ Y (s) = G (s) X (s) $. Dove, $ G (s) = G_1 (s) G_2 (s) $.
Ciò significa che possiamo rappresentare il file series connectiondi due blocchi con un unico blocco. La funzione di trasferimento di questo blocco unico è ilproduct of the transfer functionsdi quei due blocchi. Lo schema a blocchi equivalente è mostrato di seguito.
Allo stesso modo, puoi rappresentare la connessione in serie di 'n' blocchi con un singolo blocco. La funzione di trasferimento di questo singolo blocco è il prodotto delle funzioni di trasferimento di tutti quei blocchi 'n'.
Connessione parallela
I blocchi in cui sono collegati parallel avrà il same input. Nella figura seguente, due blocchi con funzioni di trasferimento $ G_1 (s) $ e $ G_2 (s) $ sono collegati in parallelo. Le uscite di questi due blocchi sono collegate al punto di somma.
Per questa combinazione, otterremo l'output $ Y (s) $ as
$$ Y (s) = Y_1 (s) + Y_2 (s) $$
Dove, $ Y_1 (s) = G_1 (s) X (s) $ e $ Y_2 (s) = G_2 (s) X (s) $
$$ \ Rightarrow Y (s) = G_1 (s) X (s) + G_2 (s) X (s) = \ lbrace G_1 (s) + G_2 (s) \ rbrace X (s) $$
Confronta questa equazione con la forma standard dell'equazione di output, $ Y (s) = G (s) X (s) $.
Dove, $ G (s) = G_1 (s) + G_2 (s) $.
Ciò significa che possiamo rappresentare il file parallel connectiondi due blocchi con un unico blocco. La funzione di trasferimento di questo blocco unico è ilsum of the transfer functionsdi quei due blocchi. Lo schema a blocchi equivalente è mostrato di seguito.
Allo stesso modo, puoi rappresentare la connessione parallela di 'n' blocchi con un singolo blocco. La funzione di trasferimento di questo singolo blocco è la somma algebrica delle funzioni di trasferimento di tutti quei blocchi 'n'.
Connessione di feedback
Come abbiamo discusso nei capitoli precedenti, ci sono due tipi di file feedback- feedback positivo e feedback negativo. La figura seguente mostra il sistema di controllo del feedback negativo. Qui, due blocchi con funzioni di trasferimento $ G (s) $ e $ H (s) $ formano un anello chiuso.
L'output del punto di somma è:
$$ E (s) = X (s) -H (s) Y (s) $$
L'output $ Y (s) $ è -
$$ Y (s) = E (s) G (s) $$
Sostituisci $ E (s) $ valore nell'equazione precedente.
$$ Y (s) = \ left \ {X (s) -H (s) Y (s) \ rbrace G (s) \ right \} $$
$$ Y (s) \ sinistra \ {1 + G (s) H (s) \ rbrace = X (s) G (s) \ destra \} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {X (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $$
Pertanto, la funzione di trasferimento a circuito chiuso con feedback negativo è $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $
Ciò significa che possiamo rappresentare la connessione di feedback negativo di due blocchi con un unico blocco. La funzione di trasferimento di questo blocco singolo è la funzione di trasferimento ad anello chiuso del feedback negativo. Lo schema a blocchi equivalente è mostrato di seguito.
Allo stesso modo, è possibile rappresentare la connessione di feedback positiva di due blocchi con un unico blocco. La funzione di trasferimento di questo blocco singolo è la funzione di trasferimento ad anello chiuso del feedback positivo, ovvero $ \ frac {G (s)} {1-G (s) H (s)} $
Algebra del diagramma a blocchi per sommare i punti
Ci sono due possibilità di spostare i punti di somma rispetto ai blocchi:
- Spostamento del punto di somma dopo il blocco
- Punto di somma mobile prima del blocco
Vediamo ora che tipo di accordi è necessario fare nei due casi precedenti, uno per uno.
Spostamento del punto di somma dopo il blocco
Si consideri lo schema a blocchi mostrato nella figura seguente. Qui, il punto di somma è presente prima del blocco.
Il punto di somma ha due ingressi $ R (s) $ e $ X (s) $. L'output è $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $.
Quindi, l'input per il blocco $ G (s) $ è $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $ e il suo output è -
$$ Y (s) = G (s) \ sinistra \ {R (s) + X (s) \ destra \} $$
$ \ Rightarrow Y (s) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 1)
Ora sposta il punto di somma dopo il blocco. Questo diagramma a blocchi è mostrato nella figura seguente.
L'output del blocco $ G (s) $ è $ G (s) R (s) $.
L'output del punto di somma è
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 2)
Confronta l'equazione 1 e l'equazione 2.
Il primo termine $ 'G (s) R (s)' $ è lo stesso in entrambe le equazioni. Ma c'è differenza nel secondo termine. Per ottenere lo stesso termine anche il secondo termine, è necessario un ulteriore blocco $ G (s) $. Ha l'ingresso $ X (s) $ e l'output di questo blocco è dato come input al punto di somma invece di $ X (s) $. Questo diagramma a blocchi è mostrato nella figura seguente.
Punto di somma mobile prima del blocco
Si consideri lo schema a blocchi mostrato nella figura seguente. Qui, il punto di somma è presente dopo il blocco.
L'output di questo diagramma a blocchi è:
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 3)
Ora, sposta il punto di somma prima del blocco. Questo diagramma a blocchi è mostrato nella figura seguente.
L'output di questo diagramma a blocchi è:
$ Y (S) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 4)
Confronta l'equazione 3 e l'equazione 4,
Il primo termine $ 'G (s) R (s)' $ è lo stesso in entrambe le equazioni. Ma c'è differenza nel secondo termine. Per ottenere lo stesso termine anche il secondo termine, è necessario un ulteriore blocco $ \ frac {1} {G (s)} $. Ha l'ingresso $ X (s) $ e l'output di questo blocco è dato come input al punto di somma invece di $ X (s) $. Questo diagramma a blocchi è mostrato nella figura seguente.
Schema a blocchi Algebra per punti di decollo
Ci sono due possibilità per spostare i punti di decollo rispetto ai blocchi:
- Spostamento del punto di decollo dopo il blocco
- Spostamento del punto di decollo prima del blocco
Vediamo ora che tipo di accordi devono essere presi nei due casi precedenti, uno per uno.
Spostamento del punto di decollo dopo il blocco
Si consideri lo schema a blocchi mostrato nella figura seguente. In questo caso, il punto di decollo è presente prima del blocco.
Qui, $ X (s) = R (s) $ e $ Y (s) = G (s) R (s) $
Quando sposti il punto di decollo dopo il blocco, l'uscita $ Y (s) $ sarà la stessa. Tuttavia, c'è una differenza nel valore $ X (s) $. Quindi, per ottenere lo stesso valore di $ X (s) $, abbiamo bisogno di un blocco in più $ \ frac {1} {G (s)} $. Ha l'input $ Y (s) $ e l'output è $ X (s) $. Questo diagramma a blocchi è mostrato nella figura seguente.
Spostamento del punto di decollo prima del blocco
Si consideri lo schema a blocchi mostrato nella figura seguente. Qui, il punto di decollo è presente dopo il blocco.
Qui, $ X (s) = Y (s) = G (s) R (s) $
Quando sposti il punto di decollo prima del blocco, l'uscita $ Y (s) $ sarà la stessa. Tuttavia, c'è una differenza nel valore $ X (s) $. Quindi, per ottenere lo stesso valore di $ X (s) $, abbiamo bisogno di un blocco in più $ G (s) $. Ha l'input $ R (s) $ e l'output è $ X (s) $. Questo diagramma a blocchi è mostrato nella figura seguente.