Sistemi di controllo - Compensatori
Esistono tre tipi di compensatori: compensatori lag, lead e lag-lead. Questi sono i più comunemente usati.
Compensatore del ritardo
Il Lag Compensator è una rete elettrica che produce un'uscita sinusoidale avente lo sfasamento quando viene applicato un ingresso sinusoidale. Il circuito del compensatore di ritardo nel dominio "s" è mostrato nella figura seguente.
Qui, il condensatore è in serie con il resistore $ R_2 $ e l'uscita viene misurata attraverso questa combinazione.
La funzione di trasferimento di questo compensatore di ritardo è:
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$
Dove,
$$ \ tau = R_2C $$
$$ \ alpha = \ frac {R_1 + R_2} {R_2} $$
Dall'equazione precedente, $ \ alpha $ è sempre maggiore di uno.
Dalla funzione di trasferimento, possiamo concludere che il compensatore di ritardo ha un polo in $ s = - \ frac {1} {\ alpha \ tau} $ e uno zero in $ s = - \ frac {1} {\ tau} $ . Ciò significa che il polo sarà più vicino all'origine nella configurazione polo zero del compensatore di ritardo.
Sostituisci $ s = j \ omega $ nella funzione di trasferimento.
$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {j \ omega + \ frac {1} {\ tau}} { j \ omega + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$
Angolo di fase $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ alpha \ omega \ tau $
Sappiamo che la fase del segnale sinusoidale in uscita è uguale alla somma degli angoli di fase del segnale sinusoidale in ingresso e la funzione di trasferimento.
Quindi, per produrre il ritardo di fase all'uscita di questo compensatore, l'angolo di fase della funzione di trasferimento dovrebbe essere negativo. Ciò accadrà quando $ \ alpha> 1 $.
Compensatore principale
Il compensatore di piombo è una rete elettrica che produce un'uscita sinusoidale avente un anticipo di fase quando viene applicato un ingresso sinusoidale. Il circuito del compensatore dell'elettrocatetere nel dominio "s" è mostrato nella figura seguente.
Qui, il condensatore è parallelo al resistore $ R_1 $ e l'uscita è misurata attraverso il resistore $ R_2.
La funzione di trasferimento di questo compensatore di piombo è:
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$
Dove,
$$ \ tau = R_1C $$
$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$
Dalla funzione di trasferimento, possiamo concludere che il compensatore principale ha polo a $ s = - \ frac {1} {\ beta} $ e zero a $ s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $.
Sostituisci $ s = j \ omega $ nella funzione di trasferimento.
$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$
Angolo di fase $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $
Sappiamo che la fase del segnale sinusoidale in uscita è uguale alla somma degli angoli di fase del segnale sinusoidale in ingresso e la funzione di trasferimento.
Quindi, per produrre il anticipo di fase all'uscita di questo compensatore, l'angolo di fase della funzione di trasferimento dovrebbe essere positivo. Ciò accadrà quando $ 0 <\ beta <1 $. Pertanto, lo zero sarà più vicino all'origine nella configurazione con zero poli del compensatore dell'elettrocatetere.
Compensatore lag-lead
Il compensatore lag-lead è una rete elettrica che produce un ritardo di fase in una regione di frequenza e un anticipo di fase in un'altra regione di frequenza. È una combinazione sia del lag che dei compensatori di piombo. Il circuito compensatore lag-lead nel dominio 's' è mostrato nella figura seguente.
Questo circuito sembra che entrambi i compensatori siano collegati in cascata. Quindi, la funzione di trasferimento di questo circuito sarà il prodotto delle funzioni di trasferimento del piombo e dei compensatori di ritardo.
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$
Conosciamo $ \ alpha \ beta = 1 $.
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ right) \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$
Dove,
$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$
$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$