Sistemi di controllo - Root Locus

Nel diagramma del luogo delle radici, possiamo osservare il percorso dei poli del circuito chiuso. Quindi, possiamo identificare la natura del sistema di controllo. In questa tecnica, useremo una funzione di trasferimento ad anello aperto per conoscere la stabilità del sistema di controllo a circuito chiuso.

Nozioni di base sul luogo delle radici

Il luogo delle radici è il luogo delle radici dell'equazione caratteristica variando il guadagno di sistema K da zero a infinito.

Sappiamo che l'equazione caratteristica del sistema di controllo a circuito chiuso è

$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$

Possiamo rappresentare $ G (s) H (s) $ come

$$ G (s) H (s) = K \ frac {N (s)} {D (s)} $$

Dove,

• K rappresenta il fattore moltiplicativo

• N (s) rappresenta il termine numeratore avente (fattorizzato) ^il polinomio n- ^esimo ordine di 's'.

• D (s) rappresenta il termine denominatore avente (fattorizzato) ^il polinomio di m- ^esimo ordine di 's'.

Sostituisci, $ G (s) H (s) $ valore nell'equazione caratteristica.

$$ 1 + k \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 $$

$$ \ Rightarrow D (s) + KN (s) = 0 $$

Case 1 − K = 0

Se $ K = 0 $, allora $ D (s) = 0 $.

Ciò significa che i poli del circuito chiuso sono uguali ai poli del circuito aperto quando K è zero.

Case 2 − K = ∞

Riscrivi l'equazione caratteristica di cui sopra come

$$ K \ left (\ frac {1} {K} + \ frac {N (s)} {D (s)} \ right) = 0 \ Rightarrow \ frac {1} {K} + \ frac {N ( s)} {D (s)} = 0 $$

Sostituisci $ K = \ infty $ nell'equazione precedente.

$$ \ frac {1} {\ infty} + \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow N ( s) = 0 $$

Se $ K = \ infty $, allora $ N (s) = 0 $. Significa che i poli del ciclo chiuso sono uguali agli zeri del ciclo aperto quando K è infinito.

Da due casi sopra, possiamo concludere che i rami del luogo della radice iniziano ai poli del ciclo aperto e terminano agli zeri del ciclo aperto.

Condizione di angolo e condizione di magnitudine

I punti sui rami del luogo della radice soddisfano la condizione dell'angolo. Quindi, la condizione dell'angolo viene utilizzata per sapere se il punto esiste o meno sul ramo del luogo della radice. Possiamo trovare il valore di K per i punti sui rami del luogo della radice usando la condizione di magnitudine. Quindi, possiamo usare la condizione di magnitudine per i punti, e questo soddisfa la condizione di angolo.

L'equazione caratteristica del sistema di controllo a circuito chiuso è

$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$

$$ \ Rightarrow G (s) H (s) = - 1 + j0 $$

Il phase angle di $ G (s) H (s) $ è

$$ \ angle G (s) H (s) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {0} {- 1} \ right) = (2n + 1) \ pi $$

Il angle conditionè il punto in cui l'angolo della funzione di trasferimento ad anello aperto è un multiplo dispari di 180 ⁰ .

La grandezza di $ G (s) H (s) $ è -

$$ | G (s) H (s) | = \ sqrt {(-1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 1 $$

La condizione di grandezza è che il punto (che ha soddisfatto la condizione dell'angolo) in cui l'ampiezza della funzione di trasferimento ad anello aperto è uno.