Risposta del sistema del primo ordine
In questo capitolo, discutiamo la risposta temporale del sistema di primo ordine. Considerare il seguente diagramma a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso. Qui, una funzione di trasferimento ad anello aperto, $ \ frac {1} {sT} $ è collegata a un feedback negativo unitario.
Sappiamo che la funzione di trasferimento del sistema di controllo a circuito chiuso ha un feedback negativo unitario come,
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
Sostituisci $ G (s) = \ frac {1} {sT} $ nell'equazione precedente.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ frac {1} {sT}} {1+ \ frac {1} {sT}} = \ frac {1} {sT + 1} $$
Il potere di s è uno nel termine denominatore. Quindi, la funzione di trasferimento di cui sopra è del primo ordine e si dice che il sistema sia ilfirst order system.
Possiamo riscrivere l'equazione sopra come
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $$
Dove,
C(s) è la trasformata di Laplace del segnale di uscita c (t),
R(s) è la trasformata di Laplace del segnale di ingresso r (t), e
T è la costante di tempo.
Segui questi passaggi per ottenere la risposta (output) del sistema di primo ordine nel dominio del tempo.
Prendi la trasformata di Laplace del segnale di ingresso $ r (t) $.
Considera l'equazione, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sostituisci $ R (s) $ valore nell'equazione precedente.
Se necessario, eseguire frazioni parziali di $ C (s) $.
Applica la trasformata di Laplace inversa a $ C (s) $.
Nel capitolo precedente, abbiamo visto i segnali di test standard come impulso, passo, rampa e parabolico. Cerchiamo ora di scoprire le risposte del sistema del primo ordine per ogni input, una per una. Il nome della risposta è dato secondo il nome del segnale di ingresso. Ad esempio, la risposta del sistema per un input di impulso viene chiamata risposta all'impulso.
Risposta all'impulso del sistema del primo ordine
Considera il unit impulse signal come input per il sistema di primo ordine.
Quindi, $ r (t) = \ delta (t) $
Applicare la trasformata di Laplace su entrambi i lati.
$ R (s) = 1 $
Considera l'equazione, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sostituisci $ R (s) = 1 $ nell'equazione precedente.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) (1) = \ frac {1} {sT + 1} $$
Riorganizza l'equazione precedente in una delle forme standard delle trasformate di Laplace.
$$ C (s) = \ frac {1} {T \ left (\ s + \ frac {1} {T} \ right)} \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {T} \ left (\ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} \ right) $$
Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.
$$ c (t) = \ frac {1} {T} e ^ \ left ({- \ frac {t} {T}} \ right) u (t) $$
La risposta all'impulso dell'unità è mostrata nella figura seguente.
Il unit impulse response, c (t) è un segnale a decadimento esponenziale per valori positivi di "t" ed è zero per valori negativi di "t".
Risposta graduale del sistema del primo ordine
Considera il unit step signal come input per il sistema di primo ordine.
Quindi, $ r (t) = u (t) $
Applicare la trasformata di Laplace su entrambi i lati.
$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$
Considera l'equazione, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sostituisci $ R (s) = \ frac {1} {s} $ nell'equazione precedente.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$
Fai frazioni parziali di C (s).
$$ C (s) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {sT + 1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A \ left (sT + 1 \ right) + Bs} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$
Su entrambi i lati, il termine denominatore è lo stesso. Quindi, verranno cancellati l'uno dall'altro. Quindi, equipara i termini del numeratore.
$$ 1 = A \ sinistra (sT + 1 \ destra) + Bs $$
Uguagliando i termini costanti su entrambi i lati, otterrai A = 1.
Sostituisci A = 1 e equipara il coefficiente di s termini su entrambi i lati.
$$ 0 = T + B \ Freccia destra B = -T $$
Sostituisci, A = 1 e B = −T in espansione di frazione parziale di $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {sT + 1} = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {T \ left (s + \ frac { 1} {T} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} $$
Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.
$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
Il unit step response, c (t) ha sia il termine transitorio che quello stazionario.
Il termine transitorio nella risposta al gradino unitario è:
$$ c_ {tr} (t) = - e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
Il termine di stato stazionario nella risposta al gradino unitario è:
$$ c_ {ss} (t) = u (t) $$
La figura seguente mostra la risposta al gradino dell'unità.
Il valore di unit step response, c(t)è zero in t = 0 e per tutti i valori negativi di t. Sta gradualmente aumentando dal valore zero e infine raggiunge uno in stato stazionario. Quindi, il valore dello stato stazionario dipende dall'entità dell'ingresso.
Rampa di risposta del sistema del primo ordine
Considera il unit ramp signal come input per il sistema di primo ordine.
$ Quindi, r (t) = tu (t) $
Applicare la trasformata di Laplace su entrambi i lati.
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $$
Considera l'equazione, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sostituisci $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $ nell'equazione precedente.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 2} \ right) = \ frac {1} {s ^ 2 ( sT + 1)} $$
Esegui frazioni parziali di $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 2} + \ frac {B} {s} + \ frac {C} {sT +1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2} {s ^ 2 (sT + 1) } $$
Su entrambi i lati, il termine denominatore è lo stesso. Quindi, verranno cancellati l'uno dall'altro. Quindi, equipara i termini del numeratore.
$$ 1 = A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2 $$
Uguagliando i termini costanti su entrambi i lati, otterrai A = 1.
Sostituisci A = 1 ed equipara il coefficiente dei termini s su entrambi i lati.
$$ 0 = T + B \ Freccia destra B = -T $$
Allo stesso modo, sostituire B = −T ed equiparare il coefficiente dei termini $ s ^ 2 $ su entrambi i lati. Otterrai $ C = T ^ 2 $.
Sostituisci A = 1, B = −T e $ C = T ^ 2 $ nell'espansione parziale della frazione di $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {sT + 1} = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {T \ left (s + \ frac {1} {T} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T} {s + \ frac {1} {T}} $$
Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.
$$ c (t) = \ left (t-T + Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
Il unit ramp response, c (t) ha sia il termine transitorio che quello stazionario.
Il termine transitorio nella risposta alla rampa dell'unità è -
$$ c_ {tr} (t) = Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
Il termine di stato stazionario nella risposta alla rampa dell'unità è -
$$ c_ {ss} (t) = (tT) u (t) $$
La figura seguente mostra la risposta alla rampa dell'unità.
Il unit ramp response, c (t) segue il segnale di ingresso della rampa dell'unità per tutti i valori positivi di t. Tuttavia, c'è una deviazione delle unità T dal segnale di ingresso.
Risposta parabolica del sistema del primo ordine
Considera il unit parabolic signal come input per il sistema di primo ordine.
Quindi, $ r (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $
Applicare la trasformata di Laplace su entrambi i lati.
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $$
Considera l'equazione, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sostituisci $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $ nell'equazione precedente.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 3} \ right) = \ frac {1} {s ^ 3 ( sT + 1)} $$
Esegui frazioni parziali di $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 3} + \ frac {B} {s ^ 2} + \ frac {C} {s} + \ frac {D} {sT + 1} $$
Dopo la semplificazione, otterrai i valori di A, B, C e D rispettivamente come 1, $ -T, \: T ^ 2 \: e \: −T ^ 3 $. Sostituire questi valori nella suddetta espansione parziale della frazione di C (s).
$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 3} {sT + 1 } \: \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 2} {s + \ frac {1} {T}} $
Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.
$$ c (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right ) u (t) $$
Il unit parabolic response, c (t) ha sia il termine transitorio che quello stazionario.
Il termine transitorio nella risposta parabolica unitaria è
$$ C_ {tr} (t) = - T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
Il termine di stato stazionario nella risposta parabolica unitaria è
$$ C_ {ss} (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2 \ right) u (t) $$
Da queste risposte, possiamo concludere che i sistemi di controllo del primo ordine non sono stabili con la rampa e gli ingressi parabolici perché queste risposte continuano ad aumentare anche per un tempo infinito. I sistemi di controllo del primo ordine sono stabili con input a impulsi e step perché queste risposte hanno un output limitato. Ma la risposta all'impulso non ha un termine di stato stazionario. Quindi, il segnale di passo è ampiamente utilizzato nel dominio del tempo per analizzare i sistemi di controllo dalle loro risposte.