Costruzione del luogo delle radici
Il root locusè una rappresentazione grafica nel dominio s ed è simmetrica rispetto all'asse reale. Perché i poli e gli zeri del ciclo aperto esistono nel dominio s che hanno i valori come coppie coniugate reali o complesse. In questo capitolo, discutiamo come costruire (disegnare) il luogo della radice.
Regole per la costruzione del luogo delle radici
Segui queste regole per costruire un luogo radice.
Rule 1 - Individua i poli e gli zeri ad anello aperto nel piano "s".
Rule 2 - Trova il numero di rami del locus della radice.
Sappiamo che i rami del luogo della radice iniziano ai poli del ciclo aperto e terminano agli zeri del ciclo aperto. Quindi, il numero di rami del luogo della radiceN è uguale al numero di poli ad anello aperto finiti P o il numero di zeri finiti ad anello aperto Z, qualunque sia maggiore.
Matematicamente, possiamo scrivere il numero di rami del luogo della radice N come
$ N = P $ se $ P \ geq Z $
$ N = Z $ se $ P <Z $
Rule 3 - Identifica e disegna il file real axis root locus branches.
Se l'angolo della funzione di trasferimento ad anello aperto in un punto è un multiplo dispari di 180 0 , allora quel punto si trova sul luogo della radice. Se sul lato sinistro di un punto sull'asse reale esistono un numero dispari di poli e zeri ad anello aperto, quel punto si trova sul ramo del luogo della radice. Pertanto, il ramo di punti che soddisfa questa condizione è l'asse reale del ramo del luogo della radice.
Rule 4 - Trova il centroide e l'angolo degli asintoti.
Se $ P = Z $, allora tutti i rami del locus radice iniziano a poli finiti ad anello aperto e terminano a zero finiti ad anello aperto.
Se $ P> Z $, allora $ Z $ numero di rami del luogo radice inizia a poli finiti a ciclo aperto e termina con zeri finiti a ciclo aperto e $ P - Z $ numero di rami del luogo radice inizia a poli finiti a ciclo aperto e termina a infinito zeri ad anello aperto.
Se $ P <Z $, allora il numero P di rami del luogo radice inizia a poli finiti a ciclo aperto e termina con zeri finiti a ciclo aperto e $ Z - P $ numero di rami del luogo radice inizia a poli a ciclo aperto infinito e termina a ciclo aperto finito zeri.
Quindi, alcuni rami del luogo radice si avvicinano all'infinito, quando $ P \ neq Z $. Gli asintoti danno la direzione di questi rami del locus radicale. Il punto di intersezione degli asintoti sull'asse reale è noto comecentroid.
Possiamo calcolare il centroid α utilizzando questa formula,
$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: part \: of \: finite \: open \: loop \: poles \: - \ sum Real \: part \: of \: finite \: open \: loop \ : zeros} {PZ} $
La formula per l'angolo di asymptotes θ è
$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$
Dove,
$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$
Rule 5 - Trova i punti di intersezione dei rami del luogo della radice con un asse immaginario.
Possiamo calcolare il punto in cui il ramo del luogo della radice interseca l'asse immaginario e il valore di K a quel punto utilizzando il metodo array Routh e special case (ii).
Se tutti gli elementi di una riga qualsiasi dell'array Routh sono zero, il ramo del luogo della radice interseca l'asse immaginario e viceversa.
Identifica la riga in modo tale che se rendiamo zero il primo elemento, gli elementi dell'intera riga sono zero. Trova il valore diK per questa combinazione.
Sostituiscilo Kvalore nell'equazione ausiliaria. Otterrai il punto di intersezione del ramo del luogo della radice con un asse immaginario.
Rule 6 - Trova punti di break-away e break-in.
Se esiste una diramazione del luogo della radice dell'asse reale tra due poli ad anello aperto, allora ci sarà un break-away point tra questi due poli ad anello aperto.
Se esiste un ramo del luogo della radice dell'asse reale tra due zeri ad anello aperto, ci sarà un break-in point tra questi due zeri ad anello aperto.
Note - I punti di rottura e di rottura esistono solo sui rami del locus della radice dell'asse reale.
Segui questi passaggi per trovare i punti di rottura e di intrusione.
Scrivi $ K $ in termini di $ s $ dall'equazione caratteristica $ 1 + G (s) H (s) = 0 $.
Differenzia $ K $ rispetto a s e rendilo uguale a zero. Sostituisci questi valori di $ s $ nell'equazione precedente.
I valori di $ s $ per i quali il valore $ K $ è positivo sono i break points.
Rule 7 - Trova l'angolo di partenza e l'angolo di arrivo.
L'angolo di partenza e l'angolo di arrivo possono essere calcolati rispettivamente in corrispondenza di poli coniugati complessi ad anello aperto e zeri complessi coniugati ad anello aperto.
La formula per il angle of departure $ \ phi_d $ è
$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$
La formula per il angle of arrival $ \ phi_a $ è
$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$
Dove,
$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$
Esempio
Disegniamo ora il luogo radice del sistema di controllo con funzione di trasferimento ad anello aperto, $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $
Step 1- La funzione di trasferimento ad anello aperto data ha tre poli a $ s = 0, s = −1 $ e $ s = −5 $. Non ha zero. Pertanto, il numero di rami del luogo della radice è uguale al numero di poli della funzione di trasferimento ad anello aperto.
$$ N = P = 3 $$
I tre poli si trovano sono mostrati nella figura sopra. Il segmento di retta tra $ s = −1 $ e $ s = 0 $ è un ramo del luogo della radice sull'asse reale. E l'altro ramo del luogo della radice sull'asse reale è il segmento di linea a sinistra di $ s = −5 $.
Step 2 - Otterremo i valori del centroide e dell'angolo degli asintoti utilizzando le formule fornite.
Centroide $ \ alpha = −2 $
Gli angoli degli asintoti sono $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ e $ 300 ^ 0 $.
Il centroide e tre asintoti sono mostrati nella figura seguente.
Step 3- Poiché due asintoti hanno gli angoli di $ 60 ^ 0 $ e $ 300 ^ 0 $, due rami del luogo della radice intersecano l'asse immaginario. Utilizzando il metodo dell'array di Routh e il caso speciale (ii), i rami del luogo della radice intersecano l'asse immaginario in $ j \ sqrt {5} $ e $ −j \ sqrt {5} $.
Ci sarà un punto di rottura sul ramo del luogo della radice dell'asse reale tra i poli $ s = −1 $ e $ s = 0 $. Seguendo la procedura data per il calcolo del punto di rottura, lo otterremo come $ s = −0,473 $.
Il diagramma del luogo delle radici per il sistema di controllo dato è mostrato nella figura seguente.
In questo modo, è possibile disegnare il diagramma del luogo delle radici di qualsiasi sistema di controllo e osservare il movimento dei poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso.
Dai diagrammi del luogo delle radici, possiamo conoscere l'intervallo di valori K per diversi tipi di smorzamento.
Effetti dell'aggiunta di poli e zeri ad anello aperto sul luogo delle radici
Il luogo della radice può essere spostato ‘s’ plane aggiungendo i poli ad anello aperto e gli zeri ad anello aperto.
Se includiamo un polo nella funzione di trasferimento ad anello aperto, alcuni rami del luogo della radice si sposteranno verso la metà destra del piano 's'. Per questo motivo, il rapporto di smorzamento $ \ delta $ diminuisce. Ciò implica che la frequenza smorzata $ \ omega_d $ aumenta e le specifiche del dominio del tempo come il tempo di ritardo $ t_d $, il tempo di aumento $ t_r $ e il tempo di punta $ t_p $ diminuiscono. Ma influisce sulla stabilità del sistema.
Se includiamo uno zero nella funzione di trasferimento ad anello aperto, alcuni rami del luogo della radice si sposteranno verso la metà sinistra del piano 's'. Quindi, aumenterà la stabilità del sistema di controllo. In questo caso, il rapporto di smorzamento $ \ delta $ aumenta. Il che implica che la frequenza smorzata $ \ omega_d $ diminuisce e le specifiche del dominio del tempo come il tempo di ritardo $ t_d $, il tempo di salita $ t_r $ e il tempo di picco $ t_p $ aumentano.
Quindi, in base al requisito, possiamo includere (aggiungere) i poli o gli zeri ad anello aperto alla funzione di trasferimento.