Analisi della risposta in frequenza

Abbiamo già discusso l'analisi della risposta temporale dei sistemi di controllo e le specifiche nel dominio del tempo dei sistemi di controllo del secondo ordine. In questo capitolo, discutiamo l'analisi della risposta in frequenza dei sistemi di controllo e le specifiche nel dominio della frequenza dei sistemi di controllo del secondo ordine.

Cos'è la risposta in frequenza?

La risposta di un sistema può essere suddivisa sia nella risposta transitoria che nella risposta allo stato stazionario. Possiamo trovare la risposta al transiente usando gli integrali di Fourier. La risposta allo stato stazionario di un sistema per un segnale sinusoidale in ingresso è nota comefrequency response. In questo capitolo, ci concentreremo solo sulla risposta allo stato stazionario.

Se un segnale sinusoidale viene applicato come ingresso a un sistema LTI (Linear Time-Invariant), produce l'uscita di stato stazionario, che è anche un segnale sinusoidale. I segnali sinusoidali in ingresso e in uscita hanno la stessa frequenza, ma ampiezze e angoli di fase differenti.

Lascia che il segnale in ingresso sia -

$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$

La funzione di trasferimento ad anello aperto sarà:

$$ G (s) = G (j \ omega) $$

Possiamo rappresentare $ G (j \ omega) $ in termini di grandezza e fase come mostrato di seguito.

$$ G (j \ omega) = | G (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) $$

Sostituisci $ \ omega = \ omega_0 $ nell'equazione precedente.

$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ angle G (j \ omega_0) $$

Il segnale di uscita è

$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$

  • Il amplitude del segnale sinusoidale in uscita si ottiene moltiplicando l'ampiezza del segnale sinusoidale in ingresso e l'ampiezza di $ G (j \ omega) $ in $ \ omega = \ omega_0 $.

  • Il phase del segnale sinusoidale in uscita si ottiene sommando la fase del segnale sinusoidale in ingresso e la fase di $ G (j \ omega) $ a $ \ omega = \ omega_0 $.

Dove,

  • A è l'ampiezza del segnale sinusoidale in ingresso.

  • ω0 è la frequenza angolare del segnale sinusoidale di ingresso.

Possiamo scrivere, frequenza angolare $ \ omega_0 $ come mostrato di seguito.

$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$

Qui $ f_0 $ è la frequenza del segnale sinusoidale di ingresso. Allo stesso modo, è possibile seguire la stessa procedura per il sistema di controllo a circuito chiuso.

Specifiche del dominio della frequenza

Le specifiche nel dominio della frequenza sono resonant peak, resonant frequency and bandwidth.

Considerare la funzione di trasferimento del sistema di controllo a circuito chiuso del secondo ordine come,

$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Sostituisci $ s = j \ omega $ nell'equazione precedente.

$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

Lascia, $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ Sostituisci questo valore nell'equazione precedente.

$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$

La grandezza di $ T (j \ omega) $ è -

$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$

La fase di $ T (j \ omega) $ è -

$$ \ angle T (j \ omega) = - tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$

Frequenza di risonanza

È la frequenza alla quale l'ampiezza della risposta in frequenza ha il valore di picco per la prima volta. È indicato da $ \ omega_r $. A $ \ omega = \ omega_r $, la prima derivata della grandezza di $ T (j \ omega) $ è zero.

Differenzia $ M $ rispetto a $ u $.

$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

Sostituisci $ u = u_r $ e $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ nell'equazione precedente.

$$ 0 = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {- \ frac {3} {2}} \ sinistra [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

$$ \ Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$

$$ \ Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$

$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$

$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Sostituisci $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ nell'equazione precedente.

$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Picco risonante

È il valore di picco (massimo) della grandezza di $ T (j \ omega) $. È indicato da $ M_r $.

A $ u = u_r $, la grandezza di $ T (j \ omega) $ è -

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$

Sostituisci $ u_r = \ sqrt {1 - 2 \ delta ^ 2} $ e $ 1 - u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ nell'equazione precedente.

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$

$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$

Il picco di risonanza nella risposta in frequenza corrisponde all'overshoot del picco nella risposta transitoria nel dominio del tempo per determinati valori del rapporto di smorzamento $ \ delta $. Quindi, il picco di risonanza e il superamento del picco sono correlati tra loro.

Larghezza di banda

È la gamma di frequenze oltre la quale l'ampiezza di $ T (j \ omega) $ scende al 70,7% dal suo valore di frequenza zero.

A $ \ omega = 0 $, il valore di $ u $ sarà zero.

Sostituisci, $ u = 0 $ in M.

$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$

Pertanto, la grandezza di $ T (j \ omega) $ è uno a $ \ omega = 0 $.

Alla frequenza di 3 dB, la grandezza di $ T (j \ omega) $ sarà il 70,7% della grandezza di $ T (j \ omega) $ a $ \ omega = 0 $.

cioè, a $ \ omega = \ omega_B, M = 0.707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $

$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$

$$ \ Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$

Sia $ u_b ^ 2 = x $

$$ \ Rightarrow 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$

$$ \ Freccia destra x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$

$$ \ Rightarrow x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$

Considera solo il valore positivo di x.

$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$

$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

Sostituisci, $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $

$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$

La larghezza di banda $ \ omega_b $ nella risposta in frequenza è inversamente proporzionale al tempo di salita $ t_r $ nella risposta transitoria nel dominio del tempo.