Mason's Gain Formula

Parliamo ora della Mason's Gain Formula. Supponiamo che ci siano "N" percorsi diretti in un grafico del flusso di segnale. Il guadagno tra i nodi di ingresso e di uscita di un grafico del flusso di segnale non è altro che iltransfer functiondel sistema. Può essere calcolato utilizzando la formula del guadagno di Mason.

Mason’s gain formula is

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

Dove,

  • C(s) è il nodo di output

  • R(s) è il nodo di input

  • T è la funzione di trasferimento o guadagno tra $ R (s) $ e $ C (s) $

  • Piè l'i- esimo guadagno del percorso in avanti

$ \ Delta = 1- (somma \: di \: tutto \: individuo \: loop \: guadagni) $

$ + (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: due \: non touch \: loop) $

$$ - (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: tre \: non toccante \: cicli) + ... $$

Δ i si ottiene da Δ rimuovendo gli anelli che toccano l'i- esimo percorso in avanti .

Considera il seguente grafico del flusso del segnale per comprendere la terminologia di base qui coinvolta.

Sentiero

È un attraversamento di rami da un nodo a qualsiasi altro nodo nella direzione delle frecce di ramo. Non dovrebbe attraversare alcun nodo più di una volta.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ e $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

Percorso in avanti

Il percorso esistente dal nodo di input al nodo di output è noto come forward path.

Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Guadagno del percorso in avanti

Si ottiene calcolando il prodotto di tutti i guadagni di ramo del percorso in avanti.

Examples - $ abcde $ è il guadagno del percorso in avanti di $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e abge è il guadagno del percorso in avanti di $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Ciclo continuo

Il percorso che inizia da un nodo e termina nello stesso nodo è noto come loop. Quindi, è un percorso chiuso.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Guadagno loop

Si ottiene calcolando il prodotto di tutti i guadagni di ramo di un loop.

Examples - $ b_j $ è il guadagno del loop di $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ g_h $ è il guadagno del loop di $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Loop senza contatto

Questi sono i loop, che non dovrebbero avere alcun nodo comune.

Examples - I loop, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ non si toccano.

Calcolo della funzione di trasferimento utilizzando la formula di guadagno di Mason

Consideriamo lo stesso grafico del flusso del segnale per trovare la funzione di trasferimento.

  • Numero di percorsi in avanti, N = 2.

  • Il primo percorso in avanti è - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

  • Guadagno del primo percorso in avanti, $ p_1 = abcde $.

  • Il secondo percorso in avanti è - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

  • Guadagno del secondo percorso in avanti, $ p_2 = abge $.

  • Numero di loop individuali, L = 5.

  • I loop sono: $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ e $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

  • I guadagni del loop sono - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ e $ l_5 = f $.

  • Numero di due anelli non a contatto = 2.

  • La prima coppia di loop che non si toccano è $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.

  • Ottieni il prodotto della prima coppia di loop che non si toccano, $ l_1l_4 = bjdi $

  • La seconda coppia di loop che non si toccano è $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

  • Il prodotto di guadagno della seconda coppia di loop non a contatto è - $ l_1l_5 = bjf $

Un numero maggiore di (più di due) loop non a contatto non è presente in questo grafico del flusso del segnale.

Sappiamo,

$ \ Delta = 1- (somma \: di \: tutto \: individuo \: loop \: guadagni) $

$ + (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: due \: non touch \: loop) $

$$ - (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: tre \: non toccante \: cicli) + ... $$

Sostituisci i valori nell'equazione precedente,

$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $

$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $

Non c'è loop che non tocchi il primo percorso in avanti.

Quindi, $ \ Delta_1 = 1 $.

Allo stesso modo, $ \ Delta_2 = 1 $. Da allora, nessun ciclo che non tocca il secondo percorso in avanti.

Sostituisci, N = 2 nella formula del guadagno di Mason

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$

Sostituisci tutti i valori necessari nell'equazione precedente.

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

Pertanto, la funzione di trasferimento è:

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $