Mason's Gain Formula
Parliamo ora della Mason's Gain Formula. Supponiamo che ci siano "N" percorsi diretti in un grafico del flusso di segnale. Il guadagno tra i nodi di ingresso e di uscita di un grafico del flusso di segnale non è altro che iltransfer functiondel sistema. Può essere calcolato utilizzando la formula del guadagno di Mason.
Mason’s gain formula is
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
Dove,
C(s) è il nodo di output
R(s) è il nodo di input
T è la funzione di trasferimento o guadagno tra $ R (s) $ e $ C (s) $
Piè l'i- esimo guadagno del percorso in avanti
$ \ Delta = 1- (somma \: di \: tutto \: individuo \: loop \: guadagni) $
$ + (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: due \: non touch \: loop) $
$$ - (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: tre \: non toccante \: cicli) + ... $$
Δ i si ottiene da Δ rimuovendo gli anelli che toccano l'i- esimo percorso in avanti .
Considera il seguente grafico del flusso del segnale per comprendere la terminologia di base qui coinvolta.
Sentiero
È un attraversamento di rami da un nodo a qualsiasi altro nodo nella direzione delle frecce di ramo. Non dovrebbe attraversare alcun nodo più di una volta.
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ e $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $
Percorso in avanti
Il percorso esistente dal nodo di input al nodo di output è noto come forward path.
Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Guadagno del percorso in avanti
Si ottiene calcolando il prodotto di tutti i guadagni di ramo del percorso in avanti.
Examples - $ abcde $ è il guadagno del percorso in avanti di $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e abge è il guadagno del percorso in avanti di $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Ciclo continuo
Il percorso che inizia da un nodo e termina nello stesso nodo è noto come loop. Quindi, è un percorso chiuso.
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
Guadagno loop
Si ottiene calcolando il prodotto di tutti i guadagni di ramo di un loop.
Examples - $ b_j $ è il guadagno del loop di $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ g_h $ è il guadagno del loop di $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
Loop senza contatto
Questi sono i loop, che non dovrebbero avere alcun nodo comune.
Examples - I loop, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ non si toccano.
Calcolo della funzione di trasferimento utilizzando la formula di guadagno di Mason
Consideriamo lo stesso grafico del flusso del segnale per trovare la funzione di trasferimento.
Numero di percorsi in avanti, N = 2.
Il primo percorso in avanti è - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Guadagno del primo percorso in avanti, $ p_1 = abcde $.
Il secondo percorso in avanti è - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Guadagno del secondo percorso in avanti, $ p_2 = abge $.
Numero di loop individuali, L = 5.
I loop sono: $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ e $ y_5 \ rightarrow y_5 $.
I guadagni del loop sono - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ e $ l_5 = f $.
Numero di due anelli non a contatto = 2.
La prima coppia di loop che non si toccano è $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.
Ottieni il prodotto della prima coppia di loop che non si toccano, $ l_1l_4 = bjdi $
La seconda coppia di loop che non si toccano è $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.
Il prodotto di guadagno della seconda coppia di loop non a contatto è - $ l_1l_5 = bjf $
Un numero maggiore di (più di due) loop non a contatto non è presente in questo grafico del flusso del segnale.
Sappiamo,
$ \ Delta = 1- (somma \: di \: tutto \: individuo \: loop \: guadagni) $
$ + (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: due \: non touch \: loop) $
$$ - (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: tre \: non toccante \: cicli) + ... $$
Sostituisci i valori nell'equazione precedente,
$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $
$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $
Non c'è loop che non tocchi il primo percorso in avanti.
Quindi, $ \ Delta_1 = 1 $.
Allo stesso modo, $ \ Delta_2 = 1 $. Da allora, nessun ciclo che non tocca il secondo percorso in avanti.
Sostituisci, N = 2 nella formula del guadagno di Mason
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$
Sostituisci tutti i valori necessari nell'equazione precedente.
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
Pertanto, la funzione di trasferimento è:
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $