Mason's Gain Formula
Parliamo ora della Mason's Gain Formula. Supponiamo che ci siano "N" percorsi diretti in un grafico del flusso di segnale. Il guadagno tra i nodi di ingresso e di uscita di un grafico del flusso di segnale non è altro che iltransfer functiondel sistema. Può essere calcolato utilizzando la formula del guadagno di Mason.
Mason’s gain formula is
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
Dove,
C(s) è il nodo di output
R(s) è il nodo di input
T è la funzione di trasferimento o guadagno tra $ R (s) $ e $ C (s) $
Piè l'i- esimo guadagno del percorso in avanti
$ \ Delta = 1- (somma \: di \: tutto \: individuo \: loop \: guadagni) $
$ + (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: due \: non touch \: loop) $
$$ - (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: tre \: non toccante \: cicli) + ... $$
Δ i si ottiene da Δ rimuovendo gli anelli che toccano l'i- esimo percorso in avanti .
Considera il seguente grafico del flusso del segnale per comprendere la terminologia di base qui coinvolta.
![](https://assets.edu.lat/control_systems/images/mason_formula_basic.jpg)
Sentiero
È un attraversamento di rami da un nodo a qualsiasi altro nodo nella direzione delle frecce di ramo. Non dovrebbe attraversare alcun nodo più di una volta.
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ e $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $
Percorso in avanti
Il percorso esistente dal nodo di input al nodo di output è noto come forward path.
Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Guadagno del percorso in avanti
Si ottiene calcolando il prodotto di tutti i guadagni di ramo del percorso in avanti.
Examples - $ abcde $ è il guadagno del percorso in avanti di $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e abge è il guadagno del percorso in avanti di $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Ciclo continuo
Il percorso che inizia da un nodo e termina nello stesso nodo è noto come loop. Quindi, è un percorso chiuso.
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
Guadagno loop
Si ottiene calcolando il prodotto di tutti i guadagni di ramo di un loop.
Examples - $ b_j $ è il guadagno del loop di $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ g_h $ è il guadagno del loop di $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.
Loop senza contatto
Questi sono i loop, che non dovrebbero avere alcun nodo comune.
Examples - I loop, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ non si toccano.
Calcolo della funzione di trasferimento utilizzando la formula di guadagno di Mason
Consideriamo lo stesso grafico del flusso del segnale per trovare la funzione di trasferimento.
![](https://assets.edu.lat/control_systems/images/mason_formula_basic.jpg)
Numero di percorsi in avanti, N = 2.
Il primo percorso in avanti è - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Guadagno del primo percorso in avanti, $ p_1 = abcde $.
Il secondo percorso in avanti è - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
Guadagno del secondo percorso in avanti, $ p_2 = abge $.
Numero di loop individuali, L = 5.
I loop sono: $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ e $ y_5 \ rightarrow y_5 $.
I guadagni del loop sono - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ e $ l_5 = f $.
Numero di due anelli non a contatto = 2.
La prima coppia di loop che non si toccano è $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.
Ottieni il prodotto della prima coppia di loop che non si toccano, $ l_1l_4 = bjdi $
La seconda coppia di loop che non si toccano è $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.
Il prodotto di guadagno della seconda coppia di loop non a contatto è - $ l_1l_5 = bjf $
Un numero maggiore di (più di due) loop non a contatto non è presente in questo grafico del flusso del segnale.
Sappiamo,
$ \ Delta = 1- (somma \: di \: tutto \: individuo \: loop \: guadagni) $
$ + (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: due \: non touch \: loop) $
$$ - (somma \: di \: guadagno \: prodotti \: di \: tutto \: possibile \: tre \: non toccante \: cicli) + ... $$
Sostituisci i valori nell'equazione precedente,
$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $
$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $
Non c'è loop che non tocchi il primo percorso in avanti.
Quindi, $ \ Delta_1 = 1 $.
Allo stesso modo, $ \ Delta_2 = 1 $. Da allora, nessun ciclo che non tocca il secondo percorso in avanti.
Sostituisci, N = 2 nella formula del guadagno di Mason
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$
Sostituisci tutti i valori necessari nell'equazione precedente.
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
Pertanto, la funzione di trasferimento è:
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $