Sistemi di controllo - Analisi di stabilità

In questo capitolo, discutiamo dell'analisi di stabilità in ‘s’dominio utilizzando il criterio di stabilità di RouthHurwitz. In questo criterio, abbiamo bisogno dell'equazione caratteristica per trovare la stabilità dei sistemi di controllo ad anello chiuso.

Criterio di stabilità di Routh-Hurwitz

Il criterio di stabilità di Routh-Hurwitz è avere una condizione necessaria e una condizione sufficiente per la stabilità. Se un sistema di controllo non soddisfa la condizione necessaria, possiamo dire che il sistema di controllo è instabile. Tuttavia, se il sistema di controllo soddisfa la condizione necessaria, può o non può essere stabile. Quindi, la condizione sufficiente è utile per sapere se il sistema di controllo è stabile o meno.

Condizione necessaria per la stabilità di Routh-Hurwitz

La condizione necessaria è che i coefficienti del polinomio caratteristico siano positivi. Ciò implica che tutte le radici dell'equazione caratteristica dovrebbero avere parti reali negative.

Considera l'equazione caratteristica dell'ordine 'n' è -

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$

Tieni presente che non dovrebbe mancare alcun termine nel file n^thordine equazione caratteristica. Ciò significa che il filen^th l'equazione delle caratteristiche dell'ordine non deve avere alcun coefficiente di valore zero.

Condizione sufficiente per la stabilità di Routh-Hurwitz

La condizione sufficiente è che tutti gli elementi della prima colonna dell'array Routh abbiano lo stesso segno. Ciò significa che tutti gli elementi della prima colonna dell'array Routh devono essere positivi o negativi.

Metodo Routh Array

Se tutte le radici dell'equazione caratteristica esistono nella metà sinistra del piano "s", il sistema di controllo è stabile. Se almeno una radice dell'equazione caratteristica esiste nella metà destra del piano "s", il sistema di controllo è instabile. Quindi, dobbiamo trovare le radici dell'equazione caratteristica per sapere se il sistema di controllo è stabile o instabile. Tuttavia, è difficile trovare le radici dell'equazione caratteristica all'aumentare dell'ordine.

Quindi, per superare questo problema abbiamo il file Routh array method. In questo metodo, non è necessario calcolare le radici dell'equazione caratteristica. Per prima cosa formulare la tabella Routh e trovare il numero dei cambiamenti di segno nella prima colonna della tabella Routh. Il numero di cambi di segno nella prima colonna della tabella di Routh fornisce il numero di radici dell'equazione caratteristica che esistono nella metà destra del piano "s" e il sistema di controllo è instabile.

Segui questa procedura per formare il tavolo Routh.

• Riempi le prime due righe della matrice Routh con i coefficienti del polinomio caratteristico come indicato nella tabella sottostante. Inizia con il coefficiente di $ s ^ n $ e continua fino al coefficiente di $ s ^ 0 $.

• Riempi le righe rimanenti della matrice Routh con gli elementi come indicato nella tabella seguente. Continua questo processo finché non ottieni il primo elemento colonna dirow $s^0$è $ a_n $. Qui $ a_n $ è il coefficiente di $ s ^ 0 $ nel polinomio caratteristico.

Note - Se qualsiasi elemento riga della tabella Routh ha un fattore comune, è possibile dividere gli elementi riga con quel fattore per semplificare.

La tabella seguente mostra l'array di Routh del polinomio caratteristico n- ^esimo ordine.

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$

$ s ^ n $	$ a_0 $	$ a_2 $	$ a_4 ​​$	$ a_6 $	...	...
$ s ^ {n-1} $	$ a_1 $	$ a_3 $	$ a_5 $	$ a_7 $	...	...
$ s ^ {n-2} $	$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $	$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $	$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $	...	...	...
$ s ^ {n-3} $	$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $	$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $	$ \ vdots $
$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 1 $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 0 $	$ a_n $

Example

Troviamo la stabilità del sistema di controllo avente l'equazione caratteristica,

$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 - Verificare le condizioni necessarie per la stabilità Routh-Hurwitz.

Tutti i coefficienti del polinomio caratteristico, $ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $ sono positivi. Quindi, il sistema di controllo soddisfa la condizione necessaria.

Step 2 - Forma l'array di Routh per il polinomio caratteristico dato.

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 3 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	$ 3 $	$ 2 $
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(3 \ times 3) - (2 \ times 1)} {3} = \ frac {7} {3} $	$ \ frac {(3 \ times 1) - (0 \ times 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $
$ s ^ 0 $	$ 1 $

Step 3 - Verificare la condizione sufficiente per la stabilità di Routh-Hurwitz.

Tutti gli elementi della prima colonna dell'array Routh sono positivi. Non vi è alcun cambiamento di segno nella prima colonna della matrice Routh. Quindi, il sistema di controllo è stabile.

Casi speciali di Routh Array

Potremmo imbatterci in due tipi di situazioni, mentre formiamo il tavolo di Routh. È difficile completare la tabella Routh da queste due situazioni.

I due casi speciali sono:

• Il primo elemento di qualsiasi riga dell'array Routh è zero.
• Tutti gli elementi di qualsiasi riga dell'array Routh sono zero.

Vediamo ora come superare la difficoltà in questi due casi, uno per uno.

Il primo elemento di qualsiasi riga dell'array Routh è zero

Se una riga della matrice Routh contiene solo il primo elemento come zero e almeno uno degli elementi rimanenti ha un valore diverso da zero, sostituire il primo elemento con un piccolo intero positivo, $ \ epsilon $. E poi continua il processo di completamento della tabella Routh. Ora, trova il numero di cambi di segno nella prima colonna della tabella di Routh sostituendo $ \ epsilon $ tende a zero.

Example

Troviamo la stabilità del sistema di controllo avente l'equazione caratteristica,

$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 - Verificare le condizioni necessarie per la stabilità Routh-Hurwitz.

Tutti i coefficienti del polinomio caratteristico, $ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $ sono positivi. Quindi, il sistema di controllo ha soddisfatto la condizione necessaria.

Step 2 - Forma l'array di Routh per il polinomio caratteristico dato.

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	2 1	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (0 \ times 1)} {1} = 1 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

Gli elementi della riga $ s ^ 3 $ hanno 2 come fattore comune. Quindi, tutti questi elementi sono divisi per 2.

Special case (i)- Solo il primo elemento della riga $ s ^ 2 $ è zero. Quindi, sostituiscilo con $ \ epsilon $ e continua il processo di completamento della tabella Routh.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	$ \ epsilon $	1
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 - Verificare la condizione sufficiente per la stabilità di Routh-Hurwitz.

Poiché $ \ epsilon $ tende a zero, la tabella di Routh diventa così.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	0	1
$ s ^ 1 $	-∞
$ s ^ 0 $	1

Ci sono due cambiamenti di segno nella prima colonna della tabella di Routh. Quindi, il sistema di controllo è instabile.

Tutti gli elementi di qualsiasi riga dell'array Routh sono zero

In questo caso, segui questi due passaggi:

• Scrivi l'equazione ausiliaria, A (s) della riga, che è appena sopra la riga degli zeri.

• Differenziare l'equazione ausiliaria, A (s) rispetto a s. Riempi la riga di zeri con questi coefficienti.

Example

Troviamo la stabilità del sistema di controllo avente l'equazione caratteristica,

$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$

Step 1 - Verificare le condizioni necessarie per la stabilità Routh-Hurwitz.

Tutti i coefficienti del polinomio caratteristico dato sono positivi. Quindi, il sistema di controllo ha soddisfatto la condizione necessaria.

Step 2 - Forma l'array di Routh per il polinomio caratteristico dato.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	3 1	3 1	3 1
$ s ^ 3 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $
$ s ^ 2 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

Gli elementi della riga $ s ^ 4 $ hanno il fattore comune 3. Quindi, tutti questi elementi sono divisi per 3.

Special case (ii)- Tutti gli elementi della riga $ s ^ 3 $ sono zero. Quindi, scrivi l'equazione ausiliaria, A (s) della riga $ s ^ 4 $.

$$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$

Differenziare l'equazione di cui sopra rispetto a s.

$$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$

Posiziona questi coefficienti nella riga $ s ^ 3 $.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	4 2	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(2 \ times 1) - (1 \ times 1)} {2} = 0,5 $	$ \ frac {(2 \ times 1) - (0 \ times 1)} {2} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {(0,5 \ volte 1) - (1 \ volte 2)} {0,5} = \ frac {-1,5} {0,5} = - 3 $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 - Verificare la condizione sufficiente per la stabilità di Routh-Hurwitz.

Ci sono due cambiamenti di segno nella prima colonna della tabella di Routh. Quindi, il sistema di controllo è instabile.

Nel criterio di stabilità di Routh-Hurwitz, possiamo sapere se i poli del circuito chiuso si trovano sulla metà sinistra del piano "s" o sulla metà destra del piano "s" o su un asse immaginario. Quindi, non riusciamo a trovare la natura del sistema di controllo. Per superare questa limitazione, esiste una tecnica nota come locus della radice. Discuteremo questa tecnica nei prossimi due capitoli.