Sistemi di controllo - Analisi dello spazio degli stati
Nel capitolo precedente, abbiamo appreso come ottenere il modello dello spazio degli stati dall'equazione differenziale e dalla funzione di trasferimento. In questo capitolo, discutiamo come ottenere la funzione di trasferimento dal modello dello spazio degli stati.
Funzione di trasferimento da State Space Model
Sappiamo che il modello nello spazio degli stati di un sistema Linear Time-Invariant (LTI) è -
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
Applicare la trasformazione di Laplace su entrambi i lati dell'equazione di stato.
$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$
$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$
$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$
Applicare la trasformazione di Laplace su entrambi i lati dell'equazione di output.
$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$
Sostituisci il valore X (s) nell'equazione precedente.
$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$
$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$
L'equazione sopra rappresenta la funzione di trasferimento del sistema. Quindi, possiamo calcolare la funzione di trasferimento del sistema utilizzando questa formula per il sistema rappresentato nel modello dello spazio degli stati.
Note - Quando $ D = [0] $, la funzione di trasferimento sarà
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Example
Calcoliamo la funzione di trasferimento del sistema rappresentato nel modello dello spazio degli stati come,
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Qui,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 e 1 \ end {bmatrix} \ quad e \ quad D = [0] $$
La formula per la funzione di trasferimento quando $ D = [0] $ è -
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Sostituisci le matrici A, B e C nell'equazione precedente.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Pertanto, la funzione di trasferimento del sistema per il modello dello spazio degli stati dato è
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Matrice di transizione di stato e sue proprietà
Se il sistema presenta le condizioni iniziali, produrrà un output. Poiché questo output è presente anche in assenza di input, viene chiamatozero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Matematicamente, possiamo scriverlo come,
$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ sinistra \ {\ sinistra [sI-A \ destra] ^ {- 1} X (0) \ destra \} $$
Dalla relazione precedente, possiamo scrivere la matrice di transizione di stato $ \ phi (t) $ come
$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$
Quindi, la risposta di ingresso zero può essere ottenuta moltiplicando la matrice di transizione di stato $ \ phi (t) $ con la matrice delle condizioni iniziali.
Di seguito sono riportate le proprietà della matrice di transizione di stato.
Se $ t = 0 $, la matrice di transizione di stato sarà uguale a una matrice di identità.
$$ \ phi (0) = I $$
La matrice inversa della transizione di stato sarà uguale a quella della matrice di transizione di stato semplicemente sostituendo "t" con "-t".
$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Se $ t = t_1 + t_2 $, la matrice di transizione di stato corrispondente è uguale alla moltiplicazione delle due matrici di transizione di stato in $ t = t_1 $ e $ t = t_2 $.
$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$
Controllabilità e osservabilità
Parliamo ora della controllabilità e dell'osservabilità del sistema di controllo uno per uno.
Controllabilità
Si dice che sia un sistema di controllo controllable se gli stati iniziali del sistema di controllo vengono trasferiti (modificati) ad altri stati desiderati da un ingresso controllato in una durata di tempo finita.
Possiamo verificare la controllabilità di un sistema di controllo utilizzando Kalman’s test.
Scrivi la matrice $ Q_c $ nella forma seguente.
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
Trova il determinante della matrice $ Q_c $ e se non è uguale a zero, il sistema di controllo è controllabile.
Osservabilità
Si dice che sia un sistema di controllo observable se è in grado di determinare gli stati iniziali del sistema di controllo osservando le uscite in durata finita di tempo.
Possiamo verificare l'osservabilità di un sistema di controllo utilizzando Kalman’s test.
Scrivi la matrice $ Q_o $ nella forma seguente.
$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ destra] $$
Trova il determinante della matrice $ Q_o $ e se non è uguale a zero, il sistema di controllo è osservabile.
Example
Cerchiamo di verificare la controllabilità e l'osservabilità di un sistema di controllo che è rappresentato nel modello dello spazio degli stati come,
$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Qui,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix} } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad e \ quad n = 2 $$
Per $ n = 2 $, la matrice $ Q_c $ sarà
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$
Otterremo il prodotto delle matrici A e B come,
$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$
$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$
Poiché il determinante della matrice $ Q_c $ non è uguale a zero, il sistema di controllo dato è controllabile.
Per $ n = 2 $, la matrice $ Q_o $ sarà -
$$ Q_o = \ sinistra [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ destra] $$
Qui,
$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad e \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $
Otterremo il prodotto delle matrici $ A ^ T $ e $ C ^ T $ as
$$ A ^ TC ^ T = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_o = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0 $$
Poiché il determinante della matrice $ Q_o $ non è uguale a zero, il sistema di controllo dato è osservabile.
Pertanto, il dato sistema di controllo è sia controllabile che osservabile.