Specifiche nel dominio del tempo

In questo capitolo, discutiamo le specifiche del dominio del tempo del sistema del secondo ordine. La risposta al gradino del sistema del secondo ordine per il caso sottotono è mostrata nella figura seguente.

Tutte le specifiche del dominio del tempo sono rappresentate in questa figura. La risposta fino al tempo di assestamento è nota come risposta transitoria e la risposta dopo il tempo di stabilizzazione è nota come risposta allo stato stazionario.

Ritardo

È il tempo necessario per raggiungere la risposta half of its final valuedall'istante zero. È indicato da $ t_d $.

Considera la risposta al gradino del sistema del secondo ordine per t ≥ 0, quando 'δ' è compreso tra zero e uno.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Il valore finale della risposta al gradino è uno.

Pertanto, a $ t = t_d $, il valore della risposta al gradino sarà 0,5. Sostituisci questi valori nell'equazione precedente.

$$ c (t_d) = 0,5 = 1- \ sinistra (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0,5 $$

Usando l'approssimazione lineare, otterrai il delay time t_d come

$$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $$

Ora di alzarsi

È il tempo necessario per far sorgere la risposta 0% to 100% of its final value. Questo è applicabile perunder-damped systems. Per i sistemi sovrasmorzati, considerare la durata dal 10% al 90% del valore finale. Il tempo di salita è indicato dat_r.

A t = t ₁ = 0, c (t) = 0.

Sappiamo che il valore finale della risposta al gradino è uno.

Pertanto, a $ t = t_2 $, il valore della risposta al gradino è uno. Sostituisci questi valori nella seguente equazione.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

$$ c (t_2) = 1 = 1- \ sinistra (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ destra) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Sostituisci i valori t ₁ et ₂ nella seguente equazione dirise time,

$$ t_r = t_2-t_1 $$

$$ \ quindi \: t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Dall'equazione precedente, possiamo concludere che il tempo di salita $ t_r $ e la frequenza smorzata $ \ omega_d $ sono inversamente proporzionali tra loro.

Ora di punta

È il tempo necessario affinché la risposta raggiunga il peak valueper la prima volta. È indicato da $ t_p $. A $ t = t_p $, la prima derivata della risposta è zero.

Sappiamo che la risposta al gradino del sistema del secondo ordine per case sotto smorzamento è

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Differenzia $ c (t) $ rispetto a 't'.

$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta) - \ left (\ frac {- \ delta \ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ destra) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Sostituisci $ t = t_p $ e $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $ nell'equazione precedente.

$$ 0 = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ left [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow sin (- \ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow - \ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow sin (\ omega_dt_p) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$

Dall'equazione sopra, possiamo concludere che il tempo di picco $ t_p $ e la frequenza smorzata $ \ omega_d $ sono inversamente proporzionali tra loro.

Peak Overshoot

Superamento del picco M_pè definita come la deviazione della risposta nel momento di picco dal valore finale della risposta. È anche chiamatomaximum overshoot.

Matematicamente, possiamo scriverlo come

$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$

Dove,

c (t _p ) è il valore di picco della risposta.

c (∞) è il valore finale (stato stazionario) della risposta.

A $ t = t_p $, la risposta c (t) è -

$$ c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$

Sostituisci $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ nella parte destra dell'equazione precedente.

$$ c (t_P) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_n \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin \ left (\ omega_d \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right) + \ theta \ right) $$

$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) (- \ sin (\ theta)) $$

Lo sappiamo

$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Quindi, otterremo $ c (t_p) $ as

$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Sostituisci i valori di $ c (t_p) $ e $ c (\ infty) $ nell'equazione di superamento del picco.

$$ M_p = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} - ​​1 $$

$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Percentage of peak overshoot % $ M_p $ può essere calcolato utilizzando questa formula.

$$ \% M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ times 100 \% $$

Sostituendo i valori di $ M_p $ e $ c (\ infty) $ nella formula sopra, otterremo la Percentuale del picco di superamento $ \% M_p $ come

$$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $$

Dall'equazione precedente, possiamo concludere che la percentuale di superamento del picco $ \% M_p $ diminuirà se il rapporto di smorzamento $ \ delta $ aumenta.

Tempo di assestamento

È il tempo necessario affinché la risposta raggiunga lo stato stazionario e rimanga entro le bande di tolleranza specificate intorno al valore finale. In generale, le fasce di tolleranza sono del 2% e del 5%. Il tempo di assestamento è indicato da $ t_s $.

Il tempo di assestamento per la banda di tolleranza del 5% è -

$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$

Il tempo di assestamento per la banda di tolleranza del 2% è -

$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$

Dove $ \ tau $ è la costante di tempo ed è uguale a $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $.

• Sia il tempo di assestamento $ t_s $ che la costante di tempo $ \ tau $ sono inversamente proporzionali al rapporto di smorzamento $ \ delta $.

• Sia il tempo di assestamento $ t_s $ che la costante di tempo $ \ tau $ sono indipendenti dal guadagno di sistema. Ciò significa che anche il guadagno del sistema cambia, il tempo di assestamento $ t_s $ e la costante di tempo $ \ tau $ non cambieranno mai.

Esempio

Cerchiamo ora di trovare le specifiche nel dominio del tempo di un sistema di controllo avente la funzione di trasferimento ad anello chiuso $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $ quando il segnale di passo unitario viene applicato come ingresso a questo sistema di controllo.

Sappiamo che la forma standard della funzione di trasferimento del sistema di controllo a circuito chiuso del secondo ordine come

$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Identificando queste due funzioni di trasferimento, otterremo la frequenza naturale non smorzata $ \ omega_n $ come 2 rad / sec e il rapporto di smorzamento $ \ delta $ come 0,5.

Conosciamo la formula per la frequenza smorzata $ \ omega_d $ as

$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Sostituisci i valori $ \ omega_n $ e $ \ delta $ nella formula precedente.

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0.5) ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1.732 \: rad / sec $$

Sostituisci, $ \ delta $ valore nella seguente relazione

$$ \ theta = \ cos ^ {- 1} \ delta $$

$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {- 1} (0,5) = \ frac {\ pi} {3} \: rad $$

Sostituire i valori necessari di cui sopra nella formula di ciascuna specifica nel dominio del tempo e semplificare per ottenere i valori delle specifiche nel dominio del tempo per una data funzione di trasferimento.

La tabella seguente mostra le formule delle specifiche nel dominio del tempo, la sostituzione dei valori necessari e i valori finali.

Specifica nel dominio del tempo	Formula	Sostituzione di valori in Formula	Valore finale
Ritardo	$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $	$ t_d = \ frac {1 + 0.7 (0.5)} {2} $	$ t_d $ = 0,675 sec
Ora di alzarsi	$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $	$ t_r = \ frac {\ pi - (\ frac {\ pi} {3})} {1.732} $	$ t_r $ = 1.207 sec
Ora di punta	$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $	$ t_p = \ frac {\ pi} {1.732} $	$ t_p $ = 1.813 sec
% Di superamento del picco	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1- (0.5) ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% \: M_p $ = 16,32%
Tempo di assestamento per banda di tolleranza del 2%	$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $	$ t_S = \ frac {4} {(0.5) (2)} $	$ t_s $ = 4 sec