Sistemi di controllo - Analisi della risposta nel tempo
Possiamo analizzare la risposta dei sistemi di controllo sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza. Discuteremo l'analisi della risposta in frequenza dei sistemi di controllo nei capitoli successivi. Parliamo ora dell'analisi della risposta temporale dei sistemi di controllo.
Cos'è la risposta nel tempo?
Se l'uscita del sistema di controllo per un ingresso varia rispetto al tempo, si chiama time responsedel sistema di controllo. Il tempo di risposta è composto da due parti.
- Risposta transitoria
- Risposta allo stato stazionario
La risposta del sistema di controllo nel dominio del tempo è mostrata nella figura seguente.
Qui, sia lo stato transitorio che quello stazionario sono indicati nella figura. Le risposte corrispondenti a questi stati sono note come risposte transitorie e stazionarie.
Matematicamente, possiamo scrivere la risposta temporale c (t) come
$$ c (t) = c_ {tr} (t) + c_ {ss} (t) $$
Dove,
- c tr (t) è la risposta transitoria
- c ss (t) è la risposta allo stato stazionario
Risposta transitoria
Dopo aver applicato l'input al sistema di controllo, l'uscita impiega un certo tempo per raggiungere lo stato stazionario. Quindi, l'uscita sarà in uno stato transitorio fino a quando non andrà a uno stato stabile. Pertanto, la risposta del sistema di controllo durante lo stato transitorio è nota cometransient response.
La risposta transitoria sarà zero per grandi valori di "t". Idealmente, questo valore di "t" è infinito e praticamente è cinque volte costante.
Matematicamente, possiamo scriverlo come
$$ \ lim_ {t \ rightarrow \ infty} c_ {tr} (t) = 0 $$
Risposta allo stato stazionario
La parte della risposta temporale che rimane anche dopo che la risposta transitoria ha valore zero per valori grandi di "t" è nota come steady state response. Ciò significa che la risposta transitoria sarà zero anche durante lo stato stazionario.
Example
Cerchiamo di trovare i termini transitori e stazionari della risposta temporale del sistema di controllo $ c (t) = 10 + 5e ^ {- t} $
Qui, il secondo termine $ 5e ^ {- t} $ sarà zero come tdenota infinito. Quindi, questo è il filetransient term. E il primo termine 10 rimane ugualetsi avvicina all'infinito. Quindi, questo è il filesteady state term.
Segnali di test standard
I segnali di test standard sono impulso, passo, rampa e parabolico. Questi segnali vengono utilizzati per conoscere le prestazioni dei sistemi di controllo utilizzando la risposta temporale dell'uscita.
Segnale di impulso dell'unità
Un segnale di impulso unitario, δ (t) è definito come
$ \ delta (t) = 0 $ per $ t \ neq 0 $
e $ \ int_ {0 ^ -} ^ {0 ^ +} \ delta (t) dt = 1 $
La figura seguente mostra il segnale di impulso dell'unità.
Quindi, il segnale dell'impulso unitario esiste solo quando 't' è uguale a zero. L'area di questo segnale sotto un piccolo intervallo di tempo intorno a 't' è uguale a zero è uno. Il valore del segnale di impulso dell'unità è zero per tutti gli altri valori di 't'.
Segnale di passo dell'unità
Un segnale di passo unitario, u (t) è definito come
$$ u (t) = 1; t \ geq 0 $$
$ = 0; t <0 $
La figura seguente mostra il segnale di passo dell'unità.
Quindi, il segnale di gradino unitario esiste per tutti i valori positivi di "t" compreso lo zero. E il suo valore è uno durante questo intervallo. Il valore del segnale del gradino unitario è zero per tutti i valori negativi di "t".
Segnale di rampa dell'unità
Un segnale di rampa unitario, r (t) è definito come
$$ r (t) = t; t \ geq 0 $$
$ = 0; t <0 $
Possiamo scrivere il segnale di rampa unitaria, $ r (t) $ in termini di segnale di gradino unitario, $ u (t) $ as
$$ r (t) = tu (t) $$
La figura seguente mostra il segnale di rampa dell'unità.
Quindi, il segnale di rampa dell'unità esiste per tutti i valori positivi di 't' incluso lo zero. E il suo valore aumenta linearmente rispetto a "t" durante questo intervallo. Il valore del segnale di rampa dell'unità è zero per tutti i valori negativi di 't'.
Segnale parabolico dell'unità
Un segnale parabolico unitario, p (t) è definito come,
$$ p (t) = \ frac {t ^ 2} {2}; t \ geq 0 $$
$ = 0; t <0 $
Possiamo scrivere un segnale parabolico unitario, $ p (t) $ in termini di segnale di passo unitario, $ u (t) $ as,
$$ p (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $$
La figura seguente mostra il segnale parabolico dell'unità.
Quindi, il segnale parabolico unitario esiste per tutti i valori positivi di ‘t’compreso lo zero. E il suo valore aumenta in modo non lineare rispetto a 't' durante questo intervallo. Il valore del segnale parabolico unitario è zero per tutti i valori negativi di 't'.