Sistemi di controllo - Costruzione di diagrammi di Bode
In questo capitolo, vediamo in dettaglio come costruire (disegnare) grafici di Bode.
Regole per la costruzione dei grafici di Bode
Segui queste regole mentre costruisci un diagramma di Bode.
Rappresenta la funzione di trasferimento ad anello aperto nella forma della costante di tempo standard.
Sostituisci $ s = j \ omega $ nell'equazione precedente.
Trova le frequenze d'angolo e disponile in ordine crescente.
Si consideri la frequenza iniziale del diagramma di Bode come 1/10 esimo della frequenza di taglio minima o 0,1 rad / sec qualunque sia il valore più piccolo e tracciare il diagramma di Bode fino a 10 volte la massima frequenza d'angolo.
Disegna i grafici di magnitudo per ogni termine e combina questi grafici correttamente.
Disegna i grafici delle fasi per ogni termine e combinali correttamente.
Note - La frequenza angolare è la frequenza alla quale si verifica un cambiamento nella pendenza del grafico della magnitudine.
Esempio
Considerare la funzione di trasferimento ad anello aperto di un sistema di controllo a circuito chiuso
$$ G (s) H (s) = \ frac {10s} {(s + 2) (s + 5)} $$
Convertiamo questa funzione di trasferimento ad anello aperto in una costante di tempo standard.
$$ G (s) H (s) = \ frac {10s} {2 \ left (\ frac {s} {2} +1 \ right) 5 \ left (\ frac {s} {5} +1 \ right )} $$
$$ \ Rightarrow G (s) H (s) = \ frac {s} {\ left (1+ \ frac {s} {2} \ right) \ left (1+ \ frac {s} {5} \ right )} $$
Quindi, possiamo disegnare il diagramma di Bode in un foglio di semi registro usando le regole menzionate in precedenza.
Analisi di stabilità utilizzando diagrammi di Bode
Dai grafici di Bode possiamo dire se il sistema di controllo è stabile, marginalmente stabile o instabile in base ai valori di questi parametri.
- Guadagna frequenza di crossover e frequenza di crossover di fase
- Guadagna margine e margine di fase
Phase Cross over Frequency
La frequenza alla quale il diagramma di fase ha la fase di -180 0 è nota comephase cross over frequency. È indicato con $ \ omega_ {pc} $. L'unità di frequenza di crossover di fase èrad/sec.
Guadagna frequenza incrociata
La frequenza alla quale il grafico di magnitudo ha l'ampiezza di zero dB è nota come gain cross over frequency. È indicato con $ \ omega_ {gc} $. L'unità di frequenza di crossover del guadagno èrad/sec.
Di seguito è elencata la stabilità del sistema di controllo basato sulla relazione tra la frequenza di crossover di fase e la frequenza di crossover del guadagno.
Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} $ è maggiore della frequenza di cross over del guadagno $ \ omega_ {gc} $, allora il sistema di controllo è stable.
Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} $ è uguale alla frequenza di cross over del guadagno $ \ omega_ {gc} $, il sistema di controllo è marginally stable.
Se la frequenza di cross over di fase $ \ omega_ {pc} $ è inferiore alla frequenza di cross over del guadagno $ \ omega_ {gc} $, il sistema di controllo è unstable.
Guadagna margine
Il margine di guadagno $ GM $ è uguale al negativo dell'ampiezza in dB alla frequenza di incrocio di fase.
$$ GM = 20 \ log \ left (\ frac {1} {M_ {pc}} \ right) = 20logM_ {pc} $$
Dove, $ M_ {pc} $ è l'ampiezza alla frequenza di incrocio di fase. L'unità del margine di guadagno (GM) èdB.
Margine di fase
La formula per il margine di fase $ PM $ è
$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$
Dove, $ \ phi_ {gc} $ è l'angolo di fase alla frequenza di cross over del guadagno. L'unità del margine di fase èdegrees.
Di seguito è elencata la stabilità del sistema di controllo basato sulla relazione tra margine di guadagno e margine di fase.
Se sia il margine di guadagno $ GM $ che il margine di fase $ PM $ sono positivi, il sistema di controllo lo è stable.
Se sia il margine di guadagno $ GM $ che il margine di fase $ PM $ sono uguali a zero, il sistema di controllo lo è marginally stable.
Se il margine di guadagno $ GM $ e / o il margine di fase $ PM $ è / è negativo, il sistema di controllo lo è unstable.