Sistemi di controllo - Grafici di Bode
Il diagramma di Bode o il diagramma di Bode è costituito da due grafici:
- Grafico della magnitudine
- Grafico di fase
In entrambi i grafici, l'asse x rappresenta la frequenza angolare (scala logaritmica). Considerando che, yaxis rappresenta l'ampiezza (scala lineare) della funzione di trasferimento ad anello aperto nel grafico di grandezza e l'angolo di fase (scala lineare) della funzione di trasferimento ad anello aperto nel grafico di fase.
Il magnitude della funzione di trasferimento ad anello aperto in dB è -
$$ M = 20 \: \ log | G (j \ omega) H (j \ omega) | $$
Il phase angle della funzione di trasferimento ad anello aperto in gradi è -
$$ \ phi = \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$
Note - La base del logaritmo è 10.
Elementi di base dei grafici di Bode
La tabella seguente mostra la pendenza, l'ampiezza e i valori dell'angolo di fase dei termini presenti nella funzione di trasferimento ad anello aperto. Questi dati sono utili durante il disegno dei grafici di Bode.
Tipo di termine | G (jω) H (jω) | Pendenza (dB / dec) | Magnitudo (dB) | Angolo di fase (gradi) |
---|---|---|---|---|
Costante |
$ K $ |
$ 0 $ |
$ 20 \ log K $ |
$ 0 $ |
Zero all'origine |
$ j \ omega $ |
$ 20 $ |
$ 20 \ log \ omega $ |
$ 90 $ |
'n' zeri all'origine |
$ (j \ omega) ^ n $ |
$ 20 \: n $ |
$ 20 \: n \ log \ omega $ |
$ 90 \: n $ |
Polo all'origine |
$ \ frac {1} {j \ omega} $ |
$ -20 $ |
$ -20 \ log \ omega $ |
$ -90 \: o \: 270 $ |
'n' poli all'origine |
$ \ frac {1} {(j \ omega) ^ n} $ |
$ -20 \: n $ |
$ -20 \: n \ log \ omega $ |
$ -90 \: n \: o \: 270 \: n $ |
Zero semplice |
$ 1 + j \ omega r $ |
$ 20 $ |
$ 0 \: for \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ 20 \: \ log \ omega r \: for \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
$ 0 \: for \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ 90 \: for \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
Polo semplice |
$ \ frac {1} {1 + j \ omega r} $ |
$ -20 $ |
$ 0 \: for \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ -20 \: \ log \ omega r \: for \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
$ 0 \: for \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ -90 \: o \: 270 \: per \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
Termine derivato di secondo ordine |
$ \ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right) $ |
$ 40 $ |
$ 40 \: \ log \: \ omega_n \: per \: \ omega <\ omega_n $ $ 20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: per \: \ omega = \ omega_n $ $ 40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega> \ omega_n $ |
$ 0 \: for \: \ omega <\ omega_n $ $ 90 \: per \: \ omega = \ omega_n $ $ 180 \: per \: \ omega> \ omega_n $ |
Termine integrale del secondo ordine |
$ \ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $ |
$ -40 $ |
$ -40 \: \ log \: \ omega_n \: per \: \ omega <\ omega_n $ $ -20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: per \: \ omega = \ omega_n $ $ -40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega> \ omega_n $ |
$ -0 \: for \: \ omega <\ omega_n $ $ -90 \: per \: \ omega = \ omega_n $ $ -180 \: per \: \ omega> \ omega_n $ |
Considera la funzione di trasferimento ad anello aperto $ G (s) H (s) = K $.
Intensità $ M = 20 \: \ log K $ dB
Angolo di fase $ \ phi = 0 $ gradi
Se $ K = 1 $, l'intensità è 0 dB.
Se $ K> 1 $, la magnitudine sarà positiva.
Se $ K <1 $, la magnitudo sarà negativa.
La figura seguente mostra il grafico di Bode corrispondente.
Il grafico della magnitudine è una linea orizzontale, che è indipendente dalla frequenza. La stessa linea di 0 dB è il grafico della magnitudo quando il valore di K è uno. Per i valori positivi di K, la linea orizzontale si sposterà di $ 20 \: \ log K $ dB sopra la linea di 0 dB. Per i valori negativi di K, la linea orizzontale si sposterà di $ 20 \: \ log K $ dB sotto la linea di 0 dB. La stessa linea di zero gradi è il grafico di fase per tutti i valori positivi di K.
Considera la funzione di trasferimento ad anello aperto $ G (s) H (s) = s $.
Magnitudo $ M = 20 \ log \ omega $ dB
Angolo di fase $ \ phi = 90 ^ 0 $
A $ \ omega = 0,1 $ rad / sec, l'ampiezza è -20 dB.
A $ \ omega = 1 $ rad / sec, l'ampiezza è 0 dB.
A $ \ omega = 10 $ rad / sec, l'ampiezza è di 20 dB.
La figura seguente mostra il grafico di Bode corrispondente.
Il grafico della magnitudine è una linea, che ha una pendenza di 20 dB / dec. Questa linea parte da $ \ omega = 0.1 $ rad / sec con un'ampiezza di -20 dB e continua sulla stessa pendenza. Sta toccando la linea di 0 dB a $ \ omega = 1 $ rad / sec. In questo caso, il diagramma di fase è la riga 90 0 .
Considera la funzione di trasferimento ad anello aperto $ G (s) H (s) = 1 + s \ tau $.
Magnitudine $ M = 20 \: log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ dB
Angolo di fase $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau $ gradi
Per $ ω <\ frac {1} {\ tau} $, l'ampiezza è 0 dB e l'angolo di fase è 0 gradi.
Per $ \ omega> \ frac {1} {\ tau} $, l'ampiezza è $ 20 \: \ log \ omega \ tau $ dB e l'angolo di fase è 90 0 .
La figura seguente mostra il grafico di Bode corrispondente.
Il grafico di magnitudo ha magnitudo di 0 dB fino a $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec. Da $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec, ha una pendenza di 20 dB / dec. In questo caso, il diagramma di fase ha un angolo di fase di 0 gradi fino a $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec e da qui ha un angolo di fase di 90 0 . Questo diagramma di Bode è chiamatoasymptotic Bode plot.
Poiché i grafici di grandezza e fase sono rappresentati con linee rette, i grafici di Bode esatti assomigliano ai grafici di Bode asintotici. L'unica differenza è che i grafici di Exact Bode avranno curve semplici invece di linee rette.
Allo stesso modo, puoi disegnare i grafici di Bode per altri termini della funzione di trasferimento ad anello aperto che sono riportati nella tabella.