Sistemi di controllo - Grafici di Bode

Il diagramma di Bode o il diagramma di Bode è costituito da due grafici:

  • Grafico della magnitudine
  • Grafico di fase

In entrambi i grafici, l'asse x rappresenta la frequenza angolare (scala logaritmica). Considerando che, yaxis rappresenta l'ampiezza (scala lineare) della funzione di trasferimento ad anello aperto nel grafico di grandezza e l'angolo di fase (scala lineare) della funzione di trasferimento ad anello aperto nel grafico di fase.

Il magnitude della funzione di trasferimento ad anello aperto in dB è -

$$ M = 20 \: \ log | G (j \ omega) H (j \ omega) | $$

Il phase angle della funzione di trasferimento ad anello aperto in gradi è -

$$ \ phi = \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$

Note - La base del logaritmo è 10.

Elementi di base dei grafici di Bode

La tabella seguente mostra la pendenza, l'ampiezza e i valori dell'angolo di fase dei termini presenti nella funzione di trasferimento ad anello aperto. Questi dati sono utili durante il disegno dei grafici di Bode.

Tipo di termine G (jω) H (jω) Pendenza (dB / dec) Magnitudo (dB) Angolo di fase (gradi)

Costante

$ K $

$ 0 $

$ 20 \ log K $

$ 0 $

Zero all'origine

$ j \ omega $

$ 20 $

$ 20 \ log \ omega $

$ 90 $

'n' zeri all'origine

$ (j \ omega) ^ n $

$ 20 \: n $

$ 20 \: n \ log \ omega $

$ 90 \: n $

Polo all'origine

$ \ frac {1} {j \ omega} $

$ -20 $

$ -20 \ log \ omega $

$ -90 \: o \: 270 $

'n' poli all'origine

$ \ frac {1} {(j \ omega) ^ n} $

$ -20 \: n $

$ -20 \: n \ log \ omega $

$ -90 \: n \: o \: 270 \: n $

Zero semplice

$ 1 + j \ omega r $

$ 20 $

$ 0 \: for \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ 20 \: \ log \ omega r \: for \: \ omega> \ frac {1} {r} $

$ 0 \: for \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ 90 \: for \: \ omega> \ frac {1} {r} $

Polo semplice

$ \ frac {1} {1 + j \ omega r} $

$ -20 $

$ 0 \: for \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ -20 \: \ log \ omega r \: for \: \ omega> \ frac {1} {r} $

$ 0 \: for \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ -90 \: o \: 270 \: per \: \ omega> \ frac {1} {r} $

Termine derivato di secondo ordine

$ \ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right) $

$ 40 $

$ 40 \: \ log \: \ omega_n \: per \: \ omega <\ omega_n $

$ 20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: per \: \ omega = \ omega_n $

$ 40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega> \ omega_n $

$ 0 \: for \: \ omega <\ omega_n $

$ 90 \: per \: \ omega = \ omega_n $

$ 180 \: per \: \ omega> \ omega_n $

Termine integrale del secondo ordine

$ \ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $

$ -40 $

$ -40 \: \ log \: \ omega_n \: per \: \ omega <\ omega_n $

$ -20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: per \: \ omega = \ omega_n $

$ -40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega> \ omega_n $

$ -0 \: for \: \ omega <\ omega_n $

$ -90 \: per \: \ omega = \ omega_n $

$ -180 \: per \: \ omega> \ omega_n $

Considera la funzione di trasferimento ad anello aperto $ G (s) H (s) = K $.

Intensità $ M = 20 \: \ log K $ dB

Angolo di fase $ \ phi = 0 $ gradi

Se $ K = 1 $, l'intensità è 0 dB.

Se $ K> 1 $, la magnitudine sarà positiva.

Se $ K <1 $, la magnitudo sarà negativa.

La figura seguente mostra il grafico di Bode corrispondente.

Il grafico della magnitudine è una linea orizzontale, che è indipendente dalla frequenza. La stessa linea di 0 dB è il grafico della magnitudo quando il valore di K è uno. Per i valori positivi di K, la linea orizzontale si sposterà di $ 20 \: \ log K $ dB sopra la linea di 0 dB. Per i valori negativi di K, la linea orizzontale si sposterà di $ 20 \: \ log K $ dB sotto la linea di 0 dB. La stessa linea di zero gradi è il grafico di fase per tutti i valori positivi di K.

Considera la funzione di trasferimento ad anello aperto $ G (s) H (s) = s $.

Magnitudo $ M = 20 \ log \ omega $ dB

Angolo di fase $ \ phi = 90 ^ 0 $

A $ \ omega = 0,1 $ rad / sec, l'ampiezza è -20 dB.

A $ \ omega = 1 $ rad / sec, l'ampiezza è 0 dB.

A $ \ omega = 10 $ rad / sec, l'ampiezza è di 20 dB.

La figura seguente mostra il grafico di Bode corrispondente.

Il grafico della magnitudine è una linea, che ha una pendenza di 20 dB / dec. Questa linea parte da $ \ omega = 0.1 $ rad / sec con un'ampiezza di -20 dB e continua sulla stessa pendenza. Sta toccando la linea di 0 dB a $ \ omega = 1 $ rad / sec. In questo caso, il diagramma di fase è la riga 90 0 .

Considera la funzione di trasferimento ad anello aperto $ G (s) H (s) = 1 + s \ tau $.

Magnitudine $ M = 20 \: log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ dB

Angolo di fase $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau $ gradi

Per $ ω <\ frac {1} {\ tau} $, l'ampiezza è 0 dB e l'angolo di fase è 0 gradi.

Per $ \ omega> \ frac {1} {\ tau} $, l'ampiezza è $ 20 \: \ log \ omega \ tau $ dB e l'angolo di fase è 90 0 .

La figura seguente mostra il grafico di Bode corrispondente.

Il grafico di magnitudo ha magnitudo di 0 dB fino a $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec. Da $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec, ha una pendenza di 20 dB / dec. In questo caso, il diagramma di fase ha un angolo di fase di 0 gradi fino a $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec e da qui ha un angolo di fase di 90 0 . Questo diagramma di Bode è chiamatoasymptotic Bode plot.

Poiché i grafici di grandezza e fase sono rappresentati con linee rette, i grafici di Bode esatti assomigliano ai grafici di Bode asintotici. L'unica differenza è che i grafici di Exact Bode avranno curve semplici invece di linee rette.

Allo stesso modo, puoi disegnare i grafici di Bode per altri termini della funzione di trasferimento ad anello aperto che sono riportati nella tabella.