Sistemi di controllo - Modelli matematici

I sistemi di controllo possono essere rappresentati con una serie di equazioni matematiche note come mathematical model. Questi modelli sono utili per l'analisi e la progettazione di sistemi di controllo. Analisi del sistema di controllo significa trovare l'output quando conosciamo l'input e il modello matematico. Progettare un sistema di controllo significa trovare il modello matematico quando conosciamo l'input e l'output.

Vengono utilizzati principalmente i seguenti modelli matematici.

  • Modello di equazioni differenziali
  • Modello della funzione di trasferimento
  • Modello spaziale degli stati

Parliamo dei primi due modelli in questo capitolo.

Modello di equazioni differenziali

Il modello di equazioni differenziali è un modello matematico nel dominio del tempo dei sistemi di controllo. Seguire questi passaggi per il modello di equazioni differenziali.

  • Applicare le leggi di base al sistema di controllo dato.

  • Ottieni l'equazione differenziale in termini di input e output eliminando le variabili intermedie.

Esempio

Considerare il seguente sistema elettrico come mostrato nella figura seguente. Questo circuito è costituito da resistore, induttore e condensatore. Tutti questi elementi elettrici sono collegatiseries. La tensione di ingresso applicata a questo circuito è $ v_i $ e la tensione ai capi del condensatore è la tensione di uscita $ v_o $.

L'equazione della mesh per questo circuito è

$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$

Sostituisci, la corrente che passa attraverso il condensatore $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ nell'equazione precedente.

$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$

L'equazione sopra è un secondo ordine differential equation.

Modello della funzione di trasferimento

Il modello della funzione di trasferimento è un modello matematico del dominio s dei sistemi di controllo. IlTransfer function di un sistema Linear Time Invariant (LTI) è definito come il rapporto tra la trasformata di Laplace dell'output e la trasformata di Laplace dell'input assumendo che tutte le condizioni iniziali siano zero.

Se $ x (t) $ e $ y (t) $ sono l'input e l'output di un sistema LTI, le trasformate di Laplace corrispondenti sono $ X (s) $ e $ Y (s) $.

Pertanto, la funzione di trasferimento del sistema LTI è uguale al rapporto tra $ Y (s) $ e $ X (s) $.

$$ ovvero \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$

Il modello della funzione di trasferimento di un sistema LTI è mostrato nella figura seguente.

Qui abbiamo rappresentato un sistema LTI con un blocco avente al suo interno la funzione di trasferimento. E questo blocco ha un input $ X (s) $ e un output $ Y (s) $.

Esempio

In precedenza, abbiamo ottenuto l'equazione differenziale di un sistema elettrico come

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$

Applicare la trasformata di Laplace su entrambi i lati.

$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$

$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ right) V_i (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$

Dove,

  • $ v_i (s) $ è la trasformata di Laplace della tensione di ingresso $ v_i $

  • $ v_o (s) $ è la trasformata di Laplace della tensione di uscita $ v_o $

L'equazione sopra è a transfer functionimpianto elettrico di secondo ordine. Il modello della funzione di trasferimento di questo sistema è mostrato di seguito.

Mostriamo qui un impianto elettrico di secondo ordine con un blocco avente al suo interno la funzione di trasferimento. E questo blocco ha un ingresso $ V_i (s) $ e un'uscita $ V_o (s) $.