Sistemi di controllo - Controller
I vari tipi di controller vengono utilizzati per migliorare le prestazioni dei sistemi di controllo. In questo capitolo, discuteremo i controller di base come i controller proporzionale, derivativo e integrale.
Controller proporzionale
Il controller proporzionale produce un'uscita proporzionale al segnale di errore.
$$ u (t) \ propto e (t) $$
$$ \ Rightarrow u (t) = K_P e (t) $$
Applica la trasformata di Laplace su entrambi i lati -
$$ U (s) = K_P E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P $$
Pertanto, la funzione di trasferimento del controller proporzionale è $ K_P $.
Dove,
U (s) è la trasformata di Laplace del segnale di attivazione u (t)
E (s) è la trasformata di Laplace del segnale di errore e (t)
K P è la costante di proporzionalità
Lo schema a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso con feedback negativo unitario insieme al controller proporzionale è mostrato nella figura seguente.
Il controller proporzionale viene utilizzato per modificare la risposta ai transienti secondo il requisito.
Controllore derivato
Il controller derivativo produce un'uscita, che è derivativa del segnale di errore.
$$ u (t) = K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Applicare la trasformata di Laplace su entrambi i lati.
$$ U (s) = K_D sE (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_D s $$
Pertanto, la funzione di trasferimento del controller derivativo è $ K_D s $.
Dove $ K_D $ è la costante derivativa.
Lo schema a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso con feedback negativo unitario insieme al controller derivativo è mostrato nella figura seguente.
Il controller derivativo viene utilizzato per trasformare il sistema di controllo instabile in uno stabile.
Controller integrale
Il controller integrale produce un'uscita, che è parte integrante del segnale di errore.
$$ u (t) = K_I \ int e (t) dt $$
Applica la trasformata di Laplace su entrambi i lati -
$$ U (s) = \ frac {K_I E (s)} {s} $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = \ frac {K_I} {s} $$
Pertanto, la funzione di trasferimento del controller integrale è $ \ frac {K_I} {s} $.
Dove $ K_I $ è la costante integrale.
Lo schema a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso con feedback negativo unitario insieme al controller integrato è mostrato nella figura seguente.
Il controller integrato viene utilizzato per ridurre l'errore di stato stabile.
Parliamo ora della combinazione di controller di base.
Controller proporzionale derivato (PD)
Il controllore derivativo proporzionale produce un'uscita, che è la combinazione delle uscite dei controllori proporzionale e derivativo.
$$ u (t) = K_P e (t) + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Applica la trasformazione di Laplace su entrambi i lati -
$$ U (s) = (K_P + K_D s) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + K_D s $$
Pertanto, la funzione di trasferimento del controllore derivativo proporzionale è $ K_P + K_D s $.
Lo schema a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso con feedback negativo unitario insieme al controller derivativo proporzionale è mostrato nella figura seguente.
Il controller derivativo proporzionale viene utilizzato per migliorare la stabilità del sistema di controllo senza influenzare l'errore di stato stazionario.
Controller proporzionale integrale (PI)
Il controller integrale proporzionale produce un'uscita, che è la combinazione delle uscite dei controller proporzionale e integrale.
$$ u (t) = K_P e (t) + K_I \ int e (t) dt $$
Applica la trasformazione di Laplace su entrambi i lati -
$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} \ right) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} $$
Pertanto, la funzione di trasferimento del controller integrale proporzionale è $ K_P + \ frac {K_I} {s} $.
Lo schema a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso con feedback negativo unitario insieme al controller integrale proporzionale è mostrato nella figura seguente.
Il controller integrale proporzionale viene utilizzato per ridurre l'errore di stato stazionario senza influire sulla stabilità del sistema di controllo.
Controller proporzionale integrale derivativo (PID)
Il controllore derivativo integrale proporzionale produce un'uscita, che è la combinazione delle uscite dei controllori proporzionale, integrale e derivativo.
$$ u (t) = K_P e (t) + K_I \ int e (t) dt + K_D \ frac {\ text {d} e (t)} {\ text {d} t} $$
Applica la trasformazione di Laplace su entrambi i lati -
$$ U (s) = \ left (K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s \ right) E (s) $$
$$ \ frac {U (s)} {E (s)} = K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $$
Pertanto, la funzione di trasferimento del controllore derivativo integrale proporzionale è $ K_P + \ frac {K_I} {s} + K_D s $.
Lo schema a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso con feedback negativo unitario insieme al controllore derivativo integrale proporzionale è mostrato nella figura seguente.
Il controller derivativo integrale proporzionale viene utilizzato per migliorare la stabilità del sistema di controllo e per ridurre l'errore di stato stazionario.