Risposta del sistema del secondo ordine

In questo capitolo, discutiamo la risposta temporale del sistema del secondo ordine. Considerare il seguente diagramma a blocchi del sistema di controllo ad anello chiuso. Qui, una funzione di trasferimento ad anello aperto, $ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ è collegata a un feedback negativo unitario.

Sappiamo che la funzione di trasferimento del sistema di controllo ad anello chiuso con feedback negativo unitario come

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

Sostituisci $ G (s) = \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ nell'equazione precedente.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} {1+ \ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$

La potenza di "s" è due nel termine denominatore. Quindi, la funzione di trasferimento di cui sopra è del secondo ordine e si dice che il sistema sia ilsecond order system.

L'equazione caratteristica è:

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$

Le radici dell'equazione caratteristica sono:

$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n) ^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2 (\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} $$

$$ \ Rightarrow s = - \ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$

• Le due radici sono immaginarie quando δ = 0.
• Le due radici sono reali e uguali quando δ = 1.
• Le due radici sono reali ma non uguali quando δ> 1.
• Le due radici sono complesse coniugate quando 0 <δ <1.

Possiamo scrivere $ C (s) $ equation come,

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Dove,

• C(s) è la trasformata di Laplace del segnale di uscita, c (t)

• R(s) è la trasformata di Laplace del segnale di ingresso, r (t)

• ω_n è la frequenza naturale

• δ è il rapporto di smorzamento.

Seguire questi passaggi per ottenere la risposta (output) del sistema di secondo ordine nel dominio del tempo.

• Prendiamo la trasformata di Laplace del segnale di ingresso, $ r (t) $.

• Considera l'equazione, $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $

• Sostituisci $ R (s) $ valore nell'equazione precedente.

• Se necessario, eseguire frazioni parziali di $ C (s) $.

• Applica la trasformata di Laplace inversa a $ C (s) $.

Risposta graduale del sistema di secondo ordine

Considera il segnale di passo unitario come un input per il sistema del secondo ordine.

La trasformata di Laplace del segnale di passo unitario è,

$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$

Sappiamo che la funzione di trasferimento del sistema di controllo a circuito chiuso del secondo ordine è,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Caso 1: δ = 0

Sostituisci $ \ delta = 0 $ nella funzione di trasferimento.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Sostituisci $ R (s) = \ frac {1} {s} $ nell'equazione precedente.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$

Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.

$$ c (t) = \ left (1- \ cos (\ omega_n t) \ right) u (t) $$

Quindi, la risposta al gradino unitaria del sistema del secondo ordine quando $ / delta = 0 $ sarà un segnale temporale continuo con ampiezza e frequenza costanti.

Caso 2: δ = 1

Sostituisci $ / delta = 1 $ nella funzione di trasferimento.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) R (s) $$

Sostituisci $ R (s) = \ frac {1} {s} $ nell'equazione precedente.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} $$

Esegui frazioni parziali di $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Dopo la semplificazione, otterrai i valori di A, B e C rispettivamente come $ 1, \: -1 \: e \: - \ omega _n $. Sostituisci questi valori nell'espansione della frazione parziale precedente di $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ omega_n} - \ frac {\ omega_n} {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.

$$ c (t) = (1-e ^ {- \ omega_nt} - \ omega _nte ^ {- \ omega_nt}) u (t) $$

Quindi, la risposta al gradino unitaria del sistema del secondo ordine cercherà di raggiungere l'ingresso del gradino in stato stazionario.

Caso 3: 0 <δ <1

Possiamo modificare il termine denominatore della funzione di trasferimento come segue:

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) $$

La funzione di trasferimento diventa,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $ $

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) R (s ) $$

Sostituisci $ R (s) = \ frac {1} {s} $ nell'equazione precedente.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} $ $

Esegui frazioni parziali di $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

Dopo la semplificazione, otterrai i valori di A, B e C rispettivamente come $ 1, \: -1 \: e \: −2 \ delta \ omega _n $. Sostituire questi valori nella suddetta espansione parziale della frazione di C (s).

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) } $$

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} - \ frac {\ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} ) ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}) ^ 2} \ right) $

Sostituisci $ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $ con $ \ omega_d $ nell'equazione precedente.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_d} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right) $$

Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.

$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ cos (\ omega_dt) - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin (\ omega_dt) \ right) u (t) $$

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left ((\ sqrt {1- \ delta ^ 2 }) \ cos (\ omega_dt) + \ delta \ sin (\ omega_dt) \ right) \ right) u (t) $$

Se $ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin (\ theta) $, allora 'δ' sarà cos (θ). Sostituisci questi valori nell'equazione precedente.

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} (\ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt) + \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt)) \ right) u (t) $$

$$ \ Rightarrow c (t) = \ left (1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) \ right) u (t) $$

Quindi, la risposta al gradino unitaria del sistema del secondo ordine sta avendo oscillazioni smorzate (ampiezza decrescente) quando 'δ' si trova tra zero e uno.

Caso 4: δ> 1

Possiamo modificare il termine denominatore della funzione di trasferimento come segue:

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = \ left (s + \ delta \ omega_n \ right) ^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left (\ delta ^ 2-1 \ right) $$

La funzione di trasferimento diventa,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} $ $

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} \ right) R (s ) $$

Sostituisci $ R (s) = \ frac {1} {s} $ nell'equazione precedente.

$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 - (\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $

Esegui frazioni parziali di $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $$

$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$

Dopo la semplificazione, otterrai i valori di A, B e C come 1, $ \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1} )} $ e $ \ frac {-1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $ rispettivamente. Sostituisci questi valori nell'espansione della frazione parziale sopra di $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ destra) $$

Applicare la trasformata di Laplace inversa su entrambi i lati.

$ c (t) = \ left (1+ \ left (\ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right ) e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} ) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) u (t) $

Poiché è eccessivamente smorzato, la risposta unitaria al gradino del sistema del secondo ordine quando δ> 1 non raggiungerà mai l'ingresso del gradino nello stato stazionario.

Risposta all'impulso del sistema del secondo ordine

Il impulse response del sistema del secondo ordine può essere ottenuto utilizzando uno qualsiasi di questi due metodi.

• Seguire la procedura coinvolta durante la derivazione della risposta al passaggio considerando il valore di $ R (s) $ come 1 invece di $ \ frac {1} {s} $.

• Fai la differenziazione della risposta al gradino.

La tabella seguente mostra la risposta all'impulso del sistema del secondo ordine per 4 casi del rapporto di smorzamento.

Condizione del rapporto di smorzamento	Risposta all'impulso per t ≥ 0
δ = 0	$ \ omega_n \ sin (\ omega_nt) $
δ = 1	$ \ omega_n ^ 2te ^ {- \ omega_nt} $
0 <δ <1	$ \ left (\ frac {\ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt) $
δ> 1	$ \ left (\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) \ left (e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1 }) t} -e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) $